31. Сократите дробь:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Сократите дробь:
- \(\frac{3x}{21y}\);
- \(\frac{5x^{2}}{6x}\);
- \(\frac{5c^{4}}{10c^{5}}\);
- \(\frac{2m^{4}}{m^{3}}\);
- \(\frac{16ab^{4}}{40ab^{2}}\);
- \(\frac{63x^{5}y^{4}}{42x^{4}y^{5}}\);
- \(\frac{12a^{8}}{-42a^{2}}\);
- \(\frac{-13a^{5}b^{5}}{26a^{4}b^{3}}\).
Краткий ответ
Для задания 31 (считаем, что все знаменатели не равны нулю):
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(\dfrac{x}{7y}\) |
| 2 | \(\dfrac{5x}{6}\) |
| 3 | \(\dfrac{1}{2c}\) |
| 4 | \(2m\) |
| 5 | \(\dfrac{2b^2}{5}\) |
| 6 | \(\dfrac{3x}{2y}\) |
| 7 | \(-\dfrac{2a^6}{7}\) |
| 8 | \(-\dfrac{ab^2}{2}\) |
Как сокращать
Используем два правила:
\[ \frac{k a^m}{l a^n}=\frac{k}{l}\,a^{m-n}, \qquad a\ne 0 \]
то есть одинаковые переменные сокращаются вычитанием степеней. Числовые коэффициенты делим на их наибольший общий делитель.
Например, для пункта 6:
\[ \frac{63x^5y^4}{42x^4y^5} = \frac{63}{42}\cdot\frac{x^5}{x^4}\cdot\frac{y^4}{y^5} = \frac32\cdot x\cdot\frac1y = \frac{3x}{2y}. \]
Если степень больше в знаменателе, переменная остаётся в знаменателе:
\[ \frac{c^4}{c^5}=\frac1c. \]
Для пункта 8:
\[ \frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3} = -\frac{13}{26}\cdot a^{5-4}\cdot b^{5-3} = -\frac12 ab^2 = -\frac{ab^2}{2}. \]
Важно: сокращать можно только множители, а не слагаемые. Здесь везде стоят произведения, поэтому всё сокращается по степеням.
Проверка пункта 6:
\[ \frac{3x}{2y}\cdot 42x^4y^5 = 63x^5y^4, \]
значит сокращение выполнено верно.
Обсуждение
4 сообщенияНомер 35
Номер 35 — краткие ответы
\[ 1)\ \frac{xy^6}{y^8} \qquad 2)\ \frac{2ab^2}{6b^3} \]
\[ 3)\ \frac{27mn}{12m^3n^2} \qquad 4)\ \frac{22bcd}{30bd^7} \]
Как это получилось
Нужно умножить числитель и знаменатель на такой дополнительный множитель, чтобы получился заданный знаменатель:
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot k}{B\cdot k}, \qquad k=\frac{\text{новый знаменатель}}{\text{старый знаменатель}}. \]
- У \(y^2\) до \(y^8\) нужен множитель \(y^6\):
\[ \frac{x}{y^2}=\frac{x\cdot y^6}{y^2\cdot y^6} =\frac{xy^6}{y^8}. \]
- У \(3b\) до \(6b^3\) нужен множитель \(2b^2\):
\[ \frac{a}{3b} =\frac{a\cdot 2b^2}{3b\cdot 2b^2} =\frac{2ab^2}{6b^3}. \]
- У \(4m^2n\) до \(12m^3n^2\) нужен множитель \(3mn\):
\[ \frac{9}{4m^2n} =\frac{9\cdot 3mn}{4m^2n\cdot 3mn} =\frac{27mn}{12m^3n^2}. \]
- У \(15d^6\) до \(30bd^7\) нужен множитель \(2bd\):
\[ \frac{11c}{15d^6} =\frac{11c\cdot 2bd}{15d^6\cdot 2bd} =\frac{22bcd}{30bd^7}. \]
Проверка: если сократить каждую полученную дробь обратно, получится исходная дробь.
По фото это задание 35: «Сократите дробь». В нём девять примеров — предыдущие четыре пункта к этому номеру не относятся. Ниже полное решение именно по фото.
| № | После сокращения |
|---|---|
| 1 | \(\dfrac{3}{7}\) |
| 2 | \(\dfrac{5}{2a}\) |
| 3 | \(\dfrac{x-4y}{4y}\) |
| 4 | \(\dfrac{x-7}{6}\) |
| 5 | \(-2a\) |
| 6 | \(\dfrac{3b-1}{3b+1}\) |
| 7 | \(-\dfrac{1}{b}\) |
| 8 | \(\dfrac{7}{m-1}\) |
| 9 | \(-\dfrac{x+8}{3x}\) |
Как получено
Главное правило: числитель и знаменатель надо разложить на множители и сократить одинаковые множители.
\[ \frac{3m-3n}{7m-7n} =\frac{3(m-n)}{7(m-n)} =\frac{3}{7}. \]
\[ \frac{5a+25b}{2a^2+10ab} =\frac{5(a+5b)}{2a(a+5b)} =\frac{5}{2a}. \]
\[ \frac{4x-16y}{16y} =\frac{4(x-4y)}{16y} =\frac{x-4y}{4y}. \]
\[ \frac{x^2-49}{6x+42} =\frac{(x-7)(x+7)}{6(x+7)} =\frac{x-7}{6}. \]
\[ \frac{12a^2-6a}{3-6a} =\frac{6a(2a-1)}{-3(2a-1)} =-2a. \]
\[ \frac{9b^2-1}{9b^2+6b+1} =\frac{(3b-1)(3b+1)}{(3b+1)^2} =\frac{3b-1}{3b+1}. \]
\[ \frac{b^5-b^4}{b^5-b^6} =\frac{b^4(b-1)}{b^5(1-b)} =\frac{b^4(b-1)}{-b^5(b-1)} =-\frac{1}{b}. \]
\[ \frac{7m^2+7m+7}{m^3-1} =\frac{7(m^2+m+1)}{(m-1)(m^2+m+1)} =\frac{7}{m-1}. \]
\[ \frac{64-x^2}{3x^2-24x} =\frac{-(x-8)(x+8)}{3x(x-8)} =-\frac{x+8}{3x}. \]
Ограничения
Если учитывать область допустимых значений, то:
- \(m\ne n\);
- \(a\ne 0,\ a\ne -5b\);
- \(y\ne 0\);
- \(x\ne -7\);
- \(a\ne \frac12\);
- \(b\ne -\frac13\);
- \(b\ne 0,\ b\ne 1\);
- \(m\ne 1\);
- \(x\ne 0,\ x\ne 8\).
Например, проверка для №9 при \(x=1\):
\[ \frac{64-1}{3-24}=\frac{63}{-21}=-3, \qquad -\frac{1+8}{3\cdot 1}=-3. \]
Всё сходится.
