Задача Задача №3790741
А
А
180 номер
Сверь числа и знаки с фото.
- Изобразите схематически график функции \(f(x) = kx + b\) и перечислите её свойства, если: а) \(k > 0, b > 0\); б) \(k < 0, b < 0\); в) \(k > 0, b < 0\).
Краткий ответ
\[ f(x)=kx+b,\quad k\ne0 \] — линейная функция, её график — прямая. Для схематического рисунка достаточно двух точек: \[ (0;b)\quad \text{и}\quad \left(-\frac{b}{k};0\right). \] При \(k>0\) прямая возрастает, при \(k<0\) — убывает.
| Случай | Схема | Монотонность и нуль | Знак \(f(x)\) |
|---|---|---|---|
| а) \(k>0,\ b>0\) | прямая \(\nearrow\), пересекает \(Oy\) выше начала координат, а \(Ox\) — левее | возрастает; \(x_0=-\frac{b}{k}<0\) | \(f<0\) при \(x<x_0\), \(f>0\) при \(x>x_0\) |
| б) \(k<0,\ b<0\) | прямая \(\searrow\), пересекает \(Oy\) ниже начала координат, а \(Ox\) — левее | убывает; \(x_0=-\frac{b}{k}<0\) | \(f>0\) при \(x<x_0\), \(f<0\) при \(x>x_0\) |
| в) \(k>0,\ b<0\) | прямая \(\nearrow\), пересекает \(Oy\) ниже начала координат, а \(Ox\) — правее | возрастает; \(x_0=-\frac{b}{k}>0\) | \(f<0\) при \(x<x_0\), \(f>0\) при \(x>x_0\) |
Во всех случаях \(f(x)=0\) только при \(x=x_0\).
Общие свойства для всех трёх графиков
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\).
- Функция не ограничена ни сверху, ни снизу; наибольшего и наименьшего значений нет.
- Асимптот нет, функция непериодическая.
- Так как \(b\ne0\), функция не является ни чётной, ни нечётной.
Как не ошибиться
- Знак \(k\) задаёт наклон: \(k>0\) — прямая идёт вверх, \(k<0\) — вниз.
- Знак \(b\) задаёт точку на оси \(Oy\): \((0;b)\).
- Нуль функции находим из уравнения \[ kx+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{k}. \]
- Знак функции удобно проверять так: \[ f(x)=k(x-x_0). \] Поэтому при \(k>0\) слева от \(x_0\) значения отрицательные, справа — положительные; при \(k<0\) — наоборот.
Проверка: \(f(0)=b\), а корень действительно \(x=-b/k\). Значит, схемы и знаки в таблице согласуются с формулой.
