Реши 199 и 202

Question

Реши 199 и 202

Расшифровка фото нейросетью:
199 Дано множество M = {1, 2, 3, 4}. Какие из следующих утверждений истинны?
а) 2 ∈ M; в) 3 ∈ M; д) {2, 4} ⊂ M;
б) {3, 5} ⊂ M; г) M ⊂ ∅; е) ∅ ⊂ M.

202 Даны множества:
A — множество чётных целых чисел;
B — множество нечётных целых чисел;
C — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2;
D — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2.
Для каких из этих множеств множество P является подмножеством, если:
а) P = {14, 26, 122}; б) P = {27, 37, 107}?

Answer

Краткий ответ

№ 199. Истинны утверждения а, в, д, е; ложны б, г.

№ 202. а) $P$ — подмножество $A$ и $D$; б) $P$ — подмножество $B$ и $C$.

№ 199: как рассуждать

Есть два разных знака, и их нельзя путать:

$x \in M$ — «элемент $x$ лежит в множестве $M$» (смотрим на один объект);

$X \subset M$ — «каждый элемент множества $X$ лежит в $M$» (проверяем все элементы $X$; достаточно одного «чужого», чтобы утверждение стало ложным).

Проверяем по списку $M = \{1, 2, 3, 4\}$:

а) $2 \in M$ — истинно: двойка есть в списке.

б) $\{3, 5\} \subset M$ — ложно: $3 \in M$, но $5 \notin M$, значит не все элементы подмножества лежат в $M$.

в) $3 \in M$ — истинно.

г) $M \subset \varnothing$ — ложно: в $M$ есть элементы, а в пустом множестве их нет, поэтому $M$ не может целиком поместиться в $\varnothing$.

д) $\{2, 4\} \subset M$ — истинно: и $2$, и $4$ есть в $M$.

е) $\varnothing \subset M$ — истинно: в пустом множестве нет ни одного элемента, поэтому «все его элементы лежат в $M$» выполняется автоматически. Пустое множество — подмножество любого множества.

№ 202: как рассуждать

Сначала переведём описания в удобную запись:

$A$ — чётные целые: $n = 2k$;

$B$ — нечётные целые: $n = 2k+1$;

$C$ — натуральные с остатком 2 при делении на 5: $n = 5k + 2$;

$D$ — натуральные с остатком 2 при делении на 6: $n = 6k + 2$.

Дальше проверяем каждый элемент $P$: если хотя бы один «выпадает», подмножества нет.

а) $P = \{14, 26, 122\}$

Все числа чётные → $P \subset A$ ✔

Все нечётные? Нет (14 чётное) → $P \not\subset B$ ✘

$14 = 5\cdot 2 + 4$ — остаток 4, значит $14 \notin C$ → $P \not\subset C$ ✘ (хотя $122 = 5\cdot 24 + 2$ в $C$ лежит — одного «своего» элемента недостаточно)

$14 = 6\cdot 2 + 2$, $26 = 6\cdot 4 + 2$, $122 = 6\cdot 20 + 2$ → все в $D$ ✔

Ответ а): $A$ и $D$.

б) $P = \{27, 37, 107\}$

Все числа нечётные → $P \subset B$ ✔

Чётные? Нет → $P \not\subset A$ ✘

$27 = 5\cdot 5 + 2$, $37 = 5\cdot 7 + 2$, $107 = 5\cdot 21 + 2$ → все в $C$ ✔

$27 = 6\cdot 4 + 3$ — остаток 3, значит $27 \notin D$ → $P \not\subset D$ ✘

Ответ б): $B$ и $C$.

Проверка

В № 199 знак $\in$ проверялся только для одного числа, знак $\subset$ — для всех элементов: именно на этом «ловится» пункт б) (число 3 подходит, а 5 — нет).

В № 202 для «да» нужно было проверить все три числа, для «нет» хватило одного контрпримера: в а) это 14 (не даёт остаток 2 при делении на 5), в б) это 27 (даёт остаток 3 при делении на 6).

Деление с остатком: $122 = 5\cdot 24 + 2$ и $122 = 6\cdot 20 + 2$, поэтому 122 подходит и к $C$, и к $D$ — но подмножество определяется по всем элементам сразу.