Домашнее задание. Г-8. Вариант-2. № 1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке О, ∠MON=57°. Найдите угол OMP.

Краткие ответы: № 1. 28,5° № 2. 75° и 105° (углы: 75°, 75°, 105°, 105°) № 3. 10 см и 25 см № 4. 36° и 144° (углы: 36°, 36°, 144°, 144°) № 5. 12 см и 18 см № 6*. 4 см 6) 34 см 7) 80 см 8) 40°

Подробное решение:

№ 1.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\triangle MON\) — равнобедренный (\(MO = NO\)).
2. Углы при основании равны: \(\angle OMN = \angle ONM = (180^\circ - 57^\circ) : 2 = 61,5^\circ\).
3. Угол прямоугольника \(\angle NMP = 90^\circ\). Тогда \(\angle OMP = 90^\circ - 61,5^\circ = 28,5^\circ\).

№ 2.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\).
2. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x + 30^\circ\). Получаем уравнение \(x + x + 30^\circ = 180^\circ\), откуда \(2x = 150^\circ\), \(x = 75^\circ\).
3. Больший угол: \(75^\circ + 30^\circ = 105^\circ\). Углы трапеции: \(75^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 105^\circ\).

№ 3.

1. Пусть стороны параллелограмма равны \(5x\) и \(2x\). Противоположные стороны равны, поэтому периметр \(P = 2(5x + 2x) = 14x\).
2. По условию \(14x = 70\), значит \(x = 5\).
3. Стороны: \(5 \cdot 5 = 25\) см и \(2 \cdot 5 = 10\) см.

№ 4.

1. В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому каждый из них равен \(72^\circ : 2 = 36^\circ\).
2. Углы при меньшем основании являются внутренними односторонними с углами при большем основании, их сумма \(180^\circ\). Каждый из них равен \(180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\).
3. Углы трапеции: \(36^\circ, 36^\circ, 144^\circ, 144^\circ\).

№ 5.

1. Пусть меньшая сторона \(x\) см, тогда большая \((x + 6)\) см. Периметр \(P = 2(x + x + 6) = 4x + 12\).
2. По условию \(4x + 12 = 60\), откуда \(4x = 48\), \(x = 12\).
3. Большая сторона: \(12 + 6 = 18\) см. Стороны: 12 см и 18 см.

№ 6.*

1. Высота \(BM\) перпендикулярна прямой \(AD\). В прямоугольном \(\triangle ABM\) угол \(\angle ABM = 30^\circ\), значит \(\angle BAM = 60^\circ\).
2. Так как точка \(M\) лежит на продолжении стороны \(AD\), угол ромба \(\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (высота из вершины тупого угла падает на продолжение стороны).
3. В ромбе смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \(\angle ABC = 60^\circ\). Диагональ \(AC\) делит ромб на два равных треугольника, а \(\triangle ABC\) — равносторонний (так как \(AB = BC\) и \(\angle ABC = 60^\circ\)). Значит, \(AB = AC = 8\) см.
4. В прямоугольном \(\triangle ABM\) катет \(AM\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(AM = AB \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.

№ 6.

1. В параллелограмме \(AD = BC = 10\) см. Так как \(BC = BK + KC\), получаем \(BK = 10 - 3 = 7\) см.
2. Биссектриса угла \(A\) отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник \(ABK\) (углы \(\angle BAK\) и \(\angle BKA\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых). Поэтому \(AB = BK = 7\) см.
3. Периметр параллелограмма: \(P = 2(AB + AD) = 2(7 + 10) = 34\) см.

№ 7.

1. Диагональ, противолежащая углу \(60^\circ\), разбивает ромб на два равных равносторонних треугольника (стороны ромба равны, а угол между ними \(60^\circ\)).
2. Сторона ромба равна этой диагонали: \(a = 20\) см.
3. Периметр ромба: \(P = 4a = 4 \cdot 20 = 80\) см.

№ 8.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому образуются равнобедренные треугольники.
2. Острый угол между диагоналями \(80^\circ\) — это угол при вершине одного из треугольников. Углы при основании этого треугольника равны \((180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ\). Значит, диагональ образует с большей стороной угол \(50^\circ\).
3. Смежный угол между диагоналями \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\). Углы при основании треугольника с этим углом: \((180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ\). Диагональ образует с меньшей стороной угол \(40^\circ\).