сократи

Краткий конспект страницы

Искусственный спутник Земли — тело, обращающееся вокруг Земли под действием силы тяжести. Его движение — пример свободного падения: спутник не падает на Землю потому, что движется с большой скоростью, направленной по касательной к орбите (пример — Луна, обращающаяся вокруг Земли миллиарды лет). Чтобы тело стало ИСЗ, его нужно вывести за пределы атмосферы и сообщить ему определённую скорость по касательной к окружности орбиты.

Это всё, что нужно запомнить с этой страницы.

Кратко:

Спутники запускают на высоте 300–400 км, где сопротивление воздуха практически отсутствует. На спутник действует только сила тяжести, играющая роль центростремительной силы:

\[ g=\frac{v^2}{r}, \qquad v=\sqrt{gr}. \]

Это первая космическая (круговая) скорость — скорость обращения вокруг Земли по окружности радиуса \(r\). Вблизи поверхности Земли \(r \approx R_З\), поэтому

\[ v=\sqrt{g_0R_З}, \]

где \(g_0\) — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Кратко:

1. У поверхности Земли (\(R_З = 6400\) км, \(g_0 = 9{,}8\) м/с²) первая космическая скорость: \[ v = \sqrt{g_0 R_З} \approx 7{,}9 \text{ км/с}. \]

2. Если высотой \(h\) пренебречь нельзя, расстояние до центра Земли равно \(R_З + h\), тогда: \[ v \approx \sqrt{G \frac{M_З}{R_З + h}}. \] Эту формулу можно применять и к другим планетам, подставив их массу и радиус.

3. Чем больше высота \(h\), тем меньше нужная скорость. Например, на высоте 300 км \(v \approx 7{,}8\) км/с, а на 500 км — \(7{,}6\) км/с.

Кратко по странице:

1. Орбиты. Если скорость запуска на высоте \(h\) больше первой космической, орбита становится эллипсом (чем больше скорость, тем эллипс вытянутее). При скорости \(11{,}2\) км/с — это вторая космическая скорость — тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космос.

2. Запуск. Спутники выводят ракетами: двигатели совершают работу против силы тяжести и сопротивления воздуха и сообщают спутнику нужную скорость.

3. Главные даты.

   • 4 октября 1957 г. — первый в мире ИСЗ (СССР, шар диаметром 58 см, масса 83,6 кг).
   • 12 апреля 1961 г. — первый полёт человека в космос: Ю. А. Гагарин на корабле «Восток».

4. Применение. Спутники запускают для связи, исследования атмосферы, прогноза погоды и других научных и практических задач.

Коротко: и то и другое — это одна и та же сила.

• Сила притяжения (всемирного тяготения) — общее название: Земля притягивает любое тело, находящееся вблизи неё или на орбите.
• Сила тяжести — частный случай этого притяжения: сила, с которой Земля действует на тело. Вблизи поверхности \(F_{тяж} = mg\), на высоте \(h\) — \(F = G\frac{M_З m}{(R_З+h)^2}\) (это тоже называют силой тяжести, просто \(g\) там меньше).

Поэтому фраза «ИСЗ движется под действием силы тяжести» и «под действием силы притяжения Земли» означает одно и то же: сила тяжести — это и есть притяжение Земли.

Как писать в ответе: лучше «под действием силы притяжения Земли (силы тяжести)» — тогда формулировка верна при любом варианте проверки.

Упражнение 19

1. Дано: \(h = 2600 \text{ км} = 2{,}6\cdot10^6\) м, \(R_З = 6{,}4\cdot10^6\) м, \(M_З = 6\cdot10^{24}\) кг.

Радиус орбиты: \[ r = R_З + h = 6{,}4\cdot10^6 + 2{,}6\cdot10^6 = 9{,}0\cdot10^6 \text{ м}. \]

Скорость на круговой орбите: \[ v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx 6{,}7\cdot10^3 \text{ м/с}. \]

Ответ: \(v \approx 6{,}7\) км/с.

2. Дано: \(v = 1{,}67\) км/с \(= 1670\) м/с, \(g = 1{,}6\) м/с².

У поверхности Луны сила тяжести играет роль центростремительной: \[ \frac{v^2}{R} = g \quad\Rightarrow\quad R = \frac{v^2}{g}. \]

\[ R = \frac{1670^2}{1{,}6} = \frac{2\,788\,900}{1{,}6} \approx 1{,}74\cdot10^6 \text{ м}. \]

Ответ: \(R \approx 1{,}74\cdot10^6\) м \(\approx 1740\) км.

Проверка: в обеих задачах используется одна и та же идея — при движении по окружности \(g = \frac{v^2}{r}\), то есть \(v = \sqrt{gr}\). В первой задаче \(r = R_З + h\), во второй \(r = R\) (спутник у поверхности). Полученный радиус Луны \(\approx 1740\) км совпадает с табличным значением 1737 км — значит, решение верное.

Ответ в первой задаче: \(v \approx 6{,}7\) км/с (примерно \(6{,}6\)–\(6{,}7\) км/с, если округлять по-разному).

Коротко, откуда он берётся:

\[ r = R_З + h = 6400 + 2600 = 9000 \text{ км}, \]

\[ v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{24}}{9\cdot10^6}} \approx 6{,}7\cdot10^3 \text{ м/с}. \]

Перевод в км/с: \(6{,}7\cdot10^3\) м/с \(= 6{,}7\) км/с.

\(G\) — это гравитационная постоянная.

Она показывает, насколько сильно притягиваются друг к другу два тела, и входит в закон всемирного тяготения:

\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}. \]

Значение:

\[ G \approx 6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \]

В первой задаче формула

\[ v=\sqrt{\frac{GM_З}{r}} \]

получается так: сила притяжения Земли играет роль центростремительной силы. Приравниваем:

\[ G\frac{M_З m}{(R_З+h)^2}=\frac{mv^2}{R_З+h}, \]

масса спутника \(m\) сокращается, и остаётся

\[ v^2=\frac{GM_З}{R_З+h}. \]

Здесь \(M_З = 6\cdot10^{24}\) кг — масса Земли, \(r=R_З+h\) — расстояние от центра Земли до спутника.

Не путать: большая \(G\) — постоянная \(6{,}67\cdot10^{-11}\), а маленькая \(g\) — ускорение свободного падения, у поверхности Земли \(g\approx9{,}8\) м/с².