Объясни номер 313

При \(x^2=-4\) действительных корней нет.

Причина: квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ x^2\ge 0 \]

Поэтому \(x^2\) не может быть равен \(-4\). Уравнение \(x^2=-4\) не имеет решений в действительных числах.

Если же вы уже изучали комплексные числа, то корни есть:

\[ x=\pm 2i,\qquad \text{где } i^2=-1. \]

Проверка: \((2i)^2=4i^2=4\cdot(-1)=-4\).

Да, ты уловила главное: возведение в квадрат и извлечение корня — это обратные действия, как «умножить» и «разделить». Одна и та же таблица работает в обе стороны.

Одна связь — два направления

\[ 11^2=121 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sqrt{121}=11 \]

• Знаешь число \(11\) → возводишь в квадрат → получаешь \(121\).
• Знаешь квадрат \(121\) → извлекаешь корень → получаешь \(11\).

Полезно помнить таблицу квадратов:

Как решать \(x^2=a\)

1. Спроси себя: какое число в квадрате даёт \(a\)?
2. Запиши \(x=\pm\sqrt a\) — обязательно два знака, ведь и \(11^2=121\), и \((-11)^2=121\).

\[ x^2=121 \Rightarrow x=\pm\sqrt{121}=\pm 11 \]

Но не всегда ответ «красивый»

Это ответ на твой вопрос про «набор»: не все примеры будут с точными квадратами. Например:

\[ x^2=11 \Rightarrow x=\pm\sqrt{11} \]

Корень просто не извлекается нацело, и это нормальный ответ. Прикинуть можно так:

\[ 3^2=9<11<16=4^2 \Rightarrow 3<\sqrt{11}<4 \]

то есть \(\sqrt{11}\approx 3{,}3\).

Ещё два важных случая

• Если \(a\) — точный квадрат, корень считается: \(\sqrt{49}=7\).
• Если \(a<0\), корней нет вовсе: \(x^2=-4\) не решается.

Хочешь, дам 5 примеров на закрепление — смесь точных квадратов и таких, где ответ остаётся под корнем?

Вот 5 примеров: три с точным квадратом и два, где корень остаётся в ответе. Сначала реши сама, потом сверься.

1. \(x^2=64\)
2. \(x^2=7\)
3. \(x^2=144\)
4. \(x^2=0{,}36\)
5. \(x^2=18\)

Проверка ответов

1. \(64=8^2\), значит
   \[ x=\pm 8 \]

2. \(7\) не является точным квадратом (\(2^2=4<7<9=3^2\)), поэтому
   \[ x=\pm\sqrt7 \]

3. \(144=12^2\), значит
   \[ x=\pm 12 \]

4. \(0{,}36=0{,}6^2\), значит
   \[ x=\pm 0{,}6 \]

5. \(18=9\cdot 2\), поэтому
   \[ x=\pm\sqrt{18}=\pm 3\sqrt2 \]

Если в каком-то примере ответ не совпал, напиши номер — разберём именно его.

Разберём пятый пример по шагам.

\(x^2=18\)

Шаг 1. Проверяем, точный ли это квадрат.

Квадраты идут так: \(4^2=16\), \(5^2=25\). Число \(18\) стоит между ними, значит целого числа, квадрат которого равен \(18\), нет. Ответ останется с корнем:

\[ x=\pm\sqrt{18} \]

Шаг 2. Упрощаем корень.

Ищем среди множителей числа \(18\) точный квадрат: \(18=9\cdot 2\), а \(9=3^2\). Значит:

\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\sqrt2 \]

Получаем окончательно:

\[ x=\pm 3\sqrt2 \]

Шаг 3. Проверка.

\[ (3\sqrt2)^2=3^2\cdot(\sqrt2)^2=9\cdot 2=18 \]

Верно. И знак минус тоже подходит, потому что \((-3\sqrt2)^2=18\).

Как прикинуть значение на глаз: \(3\sqrt2\approx 3\cdot 1{,}41=4{,}23\), и действительно \(4^2=16<18<25=5^2\), то есть корень лежит между \(4\) и \(5\).

Главная мысль: выносим из-под корня только точный квадрат, а не любое число. Поэтому \(\sqrt{18}=3\sqrt2\), но, например, написать \(\sqrt{18}=9\sqrt2\) нельзя — проверка сразу покажет, что \((9\sqrt2)^2=81\cdot 2=162\neq 18\).

Ты не тупая — ты просто запуталась в одном месте, а это разные вещи. И да, ты права: \(\pm\sqrt{18}\) писать можно, это правильный ответ.

Оба ответа верны

\[ x=\pm\sqrt{18} \quad\text{и}\quad x=\pm 3\sqrt2 \]

Это одно и то же число, просто записано по-разному. Как \(0{,}5\) и \(\frac12\) — тоже одно и то же.

Почему это одно и то же

Корень — это «какое число в квадрате даёт 18?». Возьмём \(3\sqrt2\) и возведём в квадрат:

\[ (3\sqrt2)^2=3\cdot 3\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2=9\cdot 2=18 \]

Раз в квадрате получается \(18\), значит \(3\sqrt2\) — это и есть \(\sqrt{18}\).

Где настоящая ошибка (её легко избежать)

Нельзя писать \(\sqrt{18}=18\) и нельзя выносить «девятку» без корня:

\[ \sqrt{18}\neq 9\sqrt2 \quad\text{потому что } (9\sqrt2)^2=162\neq 18 \]

Выносить можно только корень из точного квадрата: \(9=3^2\), поэтому из-под корня выходит \(3\), а не \(9\).

Что от тебя требуют на уроке

• Если учитель просит «упростить» — пиши \(3\sqrt2\).
• Если не уверена — \(\sqrt{18}\) всё равно не ошибка. Это верный ответ.

Проверь себя на маленьком: \(\sqrt{50}\) — какой множитель тут точный квадрат, \(25\) или \(5\)? Напиши, что получится, и я проверю.

Да, из-под корня выходит именно \(5\), и это правильный ход. Только уточню один момент, чтобы не путаться.

Точный квадрат здесь — это \(25\), потому что \(25=5^2\). Сам множитель \(5\) квадратом не является, а вот \(25\) — да. Поэтому:

\[ 50=25\cdot 2 \]

\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2 \]

Проверка: \((5\sqrt2)^2=25\cdot 2=50\). Верно.

Если бы уравнение было \(x^2=50\), то ответ:

\[ x=\pm 5\sqrt2 \]

Одна ловушка: нельзя написать \(\sqrt{50}=5\). Ведь \(5^2=25\), а не \(50\). Множитель \(2\) под корнем остаётся.

Схема на будущее: ищешь среди множителей точный квадрат (\(25\)), из него корень выходит целым числом (\(5\)), всё остальное остаётся под корнем (\(\sqrt2\)). Так же было с \(18=9\cdot 2\): \(9=3^2\), вышла \(3\), осталось \(\sqrt2\).

Хочешь, дам ещё пару таких примеров, чтобы закрепить именно этот шаг?

Держи 4 примера. Сначала реши сама, потом проверь.

1. \(\sqrt{32}\)
2. \(\sqrt{45}\)
3. \(\sqrt{28}\)
4. \(\sqrt{75}\)

Проверка

1. \(32=16\cdot 2\), а \(16=4^2\): \[ \sqrt{32}=4\sqrt2 \] Проверка: \(4^2\cdot 2=16\cdot 2=32\).

2. \(45=9\cdot 5\), а \(9=3^2\): \[ \sqrt{45}=3\sqrt5 \] Проверка: \(9\cdot 5=45\).

3. Тут ловушка: \(28=4\cdot 7\), и подходит именно \(4=2^2\), а не \(7\): \[ \sqrt{28}=2\sqrt7 \] Проверка: \(4\cdot 7=28\).

4. \(75=25\cdot 3\), а \(25=5^2\): \[ \sqrt{75}=5\sqrt3 \] Проверка: \(25\cdot 3=75\).

Алгоритм, который тут работает

1. Разбей число на два множителя так, чтобы один из них был точным квадратом (\(4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\dots\)).
2. Из точного квадрата корень выходит целым числом.
3. Второй множитель остаётся под корнем.

Если в каком-то примере ответ не сошёлся — скажи номер, разберём.

Вот подборка на \(x^2=a\). Сначала реши сама, потом сверься — в конце есть ловушка.

1. \(x^2=81\)
2. \(x^2=20\)
3. \(x^2=0{,}81\)
4. \(x^2=3\)
5. \(x^2=60\)
6. \(x^2=2{,}25\)
7. \(x^2=-9\)

Проверка

1. \(81=9^2\), значит \[ x=\pm 9 \]

2. \(20=4\cdot 5\), а \(4=2^2\), значит \[ x=\pm\sqrt{20}=\pm 2\sqrt5 \] Проверка: \((2\sqrt5)^2=4\cdot 5=20\).

3. \(0{,}81=0{,}9^2\), значит \[ x=\pm 0{,}9 \]

4. \(3\) не точный квадрат (\(1<3<4\)), поэтому так и остаётся: \[ x=\pm\sqrt3 \] Прикидка: \(\sqrt3\approx 1{,}73\).

5. \(60=4\cdot 15\), значит \[ x=\pm\sqrt{60}=\pm 2\sqrt{15} \] Проверка: \(4\cdot 15=60\). Обрати внимание: \(60\) не делится на \(9\) и на \(25\), поэтому вынести можно только \(4\).

6. \(2{,}25=1{,}5^2\), значит \[ x=\pm 1{,}5 \]

7. Ловушка: квадрат не может быть отрицательным, поэтому \[ x^2=-9 \Rightarrow \text{корней нет} \]

Что важно не забыть

• Два знака \(\pm\) ставятся всегда, когда \(a>0\).
• Если \(a\) — точный квадрат, ответ целый или десятичный.
• Если нет — выносим наибольший точный квадрат, остальное оставляем под корнем.
• При \(a<0\) пишем «корней нет».

Скажи, какой номер не сошёлся, и разберём его отдельно.

Да, ты права — и хорошо, что увидела сама. Коротко закреплю почему.

\(\sqrt{60}=\sqrt{10\cdot 6}\) — это верное равенство, но бесполезное: ни \(10\), ни \(6\) не являются точными квадратами, поэтому из-под корня ничего не выйдет. А написать \(5\sqrt6\) нельзя:

\[ (5\sqrt6)^2=25\cdot 6=150\neq 60 \]

Разложение работает только тогда, когда хотя бы один множитель — точный квадрат:

\[ 60=4\cdot 15 \Rightarrow \sqrt{60}=2\sqrt{15} \]

Проверка: \(4\cdot 15=60\), и \((2\sqrt{15})^2=4\cdot 15=60\). Сходится.

Так что правило простое: множителей может быть много, но выносим мы только тот, что является квадратом целого числа (\(4, 9, 16, 25, 36, 49, 64\dots\)). У \(10\) и \(6\) такого нет — значит, это разложение ничего не упрощает.

Ты разобралась с главным принципом. Если хочешь, могу дать финальную небольшую проверку на 3 примера — смесь \(x^2=a\) и упрощения корней.

Пришли, пожалуйста, условие номера 315 — фото страницы или текст примеров. Скорее всего это продолжение той же темы (\(x^2=a\) и упрощение корней), но без самих заданий я не смогу их решить — угадывать не буду.

Если это уравнения вида \(x^2=a\) или корни вроде \(\sqrt{60}\), скинь их списком — разберём по шагам, как номер 313.

Я прочитал условия номера 315. Это уравнения, где сначала нужно «освободить» квадрат, а потом уже извлекать корень — как мы разбирали.

Кратко:
а) \(y=\pm1\); б) корней нет; в) \(b=\pm5\); г) \(x=\pm0{,}7\); д) \(a=\pm2\sqrt{10}\); е) корней нет.

Общий план (три шага)

1. Перенеси числа и множители так, чтобы слева остался только квадрат: \(t^2=\) число.
2. Если получилось \(t^2=a\) и \(a>0\), то \(t=\pm\sqrt a\).
3. Если \(a<0\) — пишем «корней нет» (квадрат не бывает отрицательным).

Решение

а) \(80+y^2=81\)
Переносим 80 вправо: \[ y^2=81-80=1 \Rightarrow y=\pm1 \]

б) \(19+c^2=10\)
\[ c^2=10-19=-9 \] Квадрат не может быть отрицательным — корней нет. Это та же ловушка, что \(x^2=-4\).

в) \(20-b^2=-5\)
Перенесём \(b^2\) вправо, а \(-5\) влево: \[ 20+5=b^2 \Rightarrow b^2=25 \Rightarrow b=\pm5 \]

г) \(3x^2=1{,}47\)
Сначала делим на 3, чтобы остался чистый квадрат: \[ x^2=\frac{1{,}47}{3}=0{,}49 \Rightarrow x=\pm0{,}7 \] Проверка: \(3\cdot0{,}49=1{,}47\).

д) \(\frac14 a^2=10\)
Умножаем обе части на 4: \[ a^2=40 \Rightarrow a=\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10} \] (так как \(40=4\cdot10\)). Приближённо \(2\sqrt{10}\approx6{,}3\).

е) \(-5y^2=1{,}8\)
Делим на \(-5\): \[ y^2=\frac{1{,}8}{-5}=-0{,}36 \] Отрицательное число — корней нет.

На что обратить внимание

В б) и е) знак минус появляется после переноса — именно тогда и выясняется, что решений нет. А в а) и в) сначала надо аккуратно перенести слагаемое, и только потом извлекать корень.

Тут важное различие: слагаемое и множитель переносятся по-разному. Похоже, ты смешала два пункта — разберу оба.

Если \(-5\) — слагаемое (как в пункте в)

\[ 20-b^2=-5 \]

Здесь \(-5\) стоит отдельным числом, его можно «перенести» влево. Правило: при переносе через знак равенства знак меняется на противоположный. Поэтому \(-5\) становится \(+5\):

\[ 20+5=b^2 \Rightarrow b^2=25 \]

Почему так происходит на самом деле: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения — равенство не нарушится:

\[ 20-b^2+5=-5+5 \Rightarrow 25-b^2=0 \Rightarrow b^2=25 \]

Если \(-5\) — множитель (как в пункте е)

\[ -5y^2=1{,}8 \]

Вот здесь \(-5\) не переносят — оно умножает \(y^2\), то есть это множитель, а не слагаемое. С множителем делают другое: делят обе части на него:

\[ y^2=\frac{1{,}8}{-5}=-0{,}36 \]

И делить на отрицательное число — значит получить отрицательный результат. Отсюда «корней нет».

Главная ловушка

Нельзя в е) написать \(y^2=1{,}8+5\). Так можно было бы, если бы уравнение выглядело как \(y^2-5=1{,}8\). Но у нас \(-5y^2\), то есть \(-5\) умножается на \(y^2\) — значит, работаем делением, а не переносом.

Скажи, ты про пункт в) или про е)? Если в твоём учебнике под е) другое уравнение — пришли его, проверю именно его.

Почти: правильнее сказать, что множитель вообще не «переносят». Переносить со сменой знака можно только слагаемые. А с множителем делают другое действие — делят на него обе части.

Два разных действия

Примеры, чтобы увидеть разницу

Слагаемое: \[ x^2+5=9 \Rightarrow x^2=9-5=4 \] Плюс \(5\) при переносе стал минус \(5\).

Положительный множитель: \[ 5x^2=20 \Rightarrow x^2=\frac{20}{5}=4 \]

Отрицательный множитель: \[ -5x^2=20 \Rightarrow x^2=\frac{20}{-5}=-4 \] Минус никуда не «переехал» — он остался в делителе и сделал результат отрицательным. Отсюда и «корней нет».

Где прячется ошибка

Из \(-5y^2=1{,}8\) нельзя получить \(y^2=1{,}8+5\). Это значило бы обращаться с множителем \(-5\) как со слагаемым. А он умножает \(y^2\), поэтому: \[ y^2=\frac{1{,}8}{-5}=-0{,}36 \]

Есть ещё случай, когда множитель стоит под \(y^2\): \(\frac{y^2}{-5}=2\). Тогда умножаем обе части на \(-5\): \[ y^2=2\cdot(-5)=-10 \]

Короткое правило: слагаемое — переносим, знак меняется. Множитель — делим (или умножаем) обе части, и знак результата получается сам.

Скажи, какой из этих случаев тебе попался в домашнем задании, — проверим именно его.