Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый для приведённого уравнения, где \(a=1\)). Для \(x^{2}+px+q=0\) корни удовлетворяют условиям: \[ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q \] Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит: \[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \] Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда). \[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \] Отсюда \(x_{1}=\frac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\frac{4}{2}=2\).

Способ 3. Разложение на множители. \[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \] \[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий

1. Если уравнение вида \(x^{2}+px+q=0\), сначала пробуй Виета: ищи два числа, дающие в сумме \(-p\), а в произведении \(q\). Быстро и без вычислений.
2. Если числа не подбираются (дробные или иррациональные корни) — считай \(D=b^{2}-4ac\): при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) действительных корней нет.
3. Всегда проверяй подстановкой — это ловит ошибку со знаками, которая случается чаще всего.

Небольшое замечание: на фото — упражнение 89 по русскому языку (словосочетания), уравнения там нет, поэтому я решил его по тексту задания.