номер 513 д,е
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите корни уравнения: а) \(4x^{2} - 9 = 0\); б) \(-x^{2} + 3 = 0\); в) \(-0{,}1x^{2} + 10 = 0\); г) \(y^{2} - \frac{1}{9} = 0\); д) \(6v^{2} + 24 = 0\); е) \(3m^{2} - 1 = 0\).
Краткий ответ:
- д) \(6v^2 + 24 = 0\) — корней нет (среди действительных чисел);
- е) \(3m^2 - 1 = 0\) — \(m_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(m_2 = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Разбор
Оба уравнения — неполные квадратные вида \(ax^2 + c = 0\). Алгоритм такой:
- Перенести свободный член вправо: \(ax^2 = -c\).
- Разделить обе части на \(a\): \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\).
- Посмотреть на знак правой части. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому:
- если \(-\dfrac{c}{a} < 0\), корней нет;
- если \(-\dfrac{c}{a} > 0\), корней два: \(x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\).
д) \[ 6v^2 + 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6v^2 = -24 \quad\Rightarrow\quad v^2 = -4. \] Слева квадрат, а он не может быть отрицательным. Значит, действительных корней нет. Это видно и сразу: \(6v^2 \ge 0\), поэтому \(6v^2 + 24 \ge 24 > 0\), и выражение никогда не равно нулю.
е) \[ 3m^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3m^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad m^2 = \frac{1}{3}. \] Правая часть положительна, therefore корней два: \[ m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Проверка для е): \[ 3\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 1 = 3\cdot\frac{3}{9} - 1 = 1 - 1 = 0. \] Верно. Для \(m = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) проверка такая же, потому что квадрат «убирает» минус.
Ориентир на будущее: у уравнения \(ax^2 + c = 0\) корни есть тогда и только тогда, когда \(a\) и \(c\) имеют разные знаки. В пункте д) \(a=6>0\) и \(c=24>0\) — знаки одинаковые, корней нет. В пункте е) \(a=3>0\), \(c=-1<0\) — знаки разные, корни есть.
