Объясни легкими словами эту тесу
Сверь числа и знаки с фото.
Глава 1, §3, п.2 2. Общие утверждения.
Особое значение для математики имеют общие утверждения. Так называют высказывания, в которых утверждается, что все элементы заданного множества обладают указанным свойством. Общий характер высказывания выражается словами любой, каждый, все, всегда и т. п. Например:
В каждой неделе 7 дней. Результат умножения любого числа на 0 равен нулю. Сумма любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых. Периметр всякого прямоугольника равен сумме длин его сторон. Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3. Произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы.
Очень часто обобщающие слова опускают и приведённые высказывания произносят короче:
В неделе 7 дней. Результат умножения числа на 0 равен нулю. Сумма двух чисел не зависит от порядка слагаемых. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Сумма двух натуральных чисел делится на 3. Произведение двух натуральных чисел больше их суммы.
Общее утверждение, как и всякое высказывание, может оказаться как истинным, так и ложным. Так, в приведённых примерах первые четыре утверждения истинны, а последние два ложны.
Действительно, сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3: например, \(1+3=4\) на 3 не делится. Этот пример показывает, что предпоследнее общее утверждение ложно, то есть он опровергает это утверждение.
Пример, опровергающий общее утверждение, называют контрпримером. Приставка «контр» («против») подчёркивает, что речь идёт именно об опровержении утверждения.
Привести контрпример для последнего утверждения немного сложнее: надо либо вспомнить, что \(2 \cdot 2 = 2 + 2\), либо догадаться взять одно или даже оба числа равными единице:
\[2 \cdot 1 < 2 + 1, \quad 1 \cdot 1 < 1 + 1.\]
Таким образом, для опровержения общего утверждения достаточно привести хотя бы один контрпример. Это касается, конечно, и обычной жизни. Скажем, для опровержения утверждения «Все кошки чёрные» можно показать белую, рыжую, полосатую кошку — любой окраски, кроме чёрной.
[Рисунок: справа от первого абзаца — человек с собакой; внизу справа — человек в шляпе.]
Коротко: общее утверждение — это фраза, которая говорит сразу про все предметы: «все», «любой», «каждый», «всегда». Оно может быть верным или ложным. Чтобы опровергнуть такое утверждение, достаточно одного примера-нарушителя — контрпримера.
Разберём по шагам
Слова-подсказки. Если в предложении есть «все», «любой», «каждый», «всегда», то это общее утверждение. Например: «В каждой неделе 7 дней» — здесь слово «каждой» говорит, что правило действует для всех недель.
Оно может быть правдой или ложью. В учебнике первые четыре примера истинны, а два последних ложны.
Контрпример — это пример, который ломает правило. Для утверждения «Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3» берём числа \(1\) и \(3\): \[ 1+3=4, \] а \(4\) на \(3\) не делится. Значит, утверждение ложное. Вот это и есть контрпример.
Ещё пример. Утверждение «Произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы» тоже ложное. Берём \(2\) и \(2\): \[ 2 \cdot 2 = 4,\qquad 2+2=4. \] Произведение не больше суммы, а равно ей. Или берём \(1\) и \(1\): \[ 1 \cdot 1=1,\qquad 1+1=2, \] и \(1<2\). Это тоже контрпримеры.
Важное правило. Чтобы опровергнуть общее утверждение, хватает одного контрпримера. А чтобы доказать, что оно верно, одних примеров мало: нужно рассуждение, которое объясняет, почему так будет всегда.
Проверь себя: утверждение «Все кошки чёрные» ложное. Контрпример — белая кошка. Один такой пример сразу рушит правило «все».
Обсуждение
12 сообщенийОбъясни тему
Коротко: эта страница — про общие утверждения и контрпримеры. Общее утверждение говорит сразу обо всех предметах какого-то набора, а чтобы его опровергнуть, достаточно одного исключения.
Что такое общее утверждение
Это высказывание, где что-то утверждается про каждый элемент множества. Подсказки-слова: все, каждый, любой, всякий, всегда.
Истинные примеры из учебника:
- В каждой неделе 7 дней.
- Любое число при умножении на 0 даёт 0.
- Сумма любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых.
- Периметр любого прямоугольника равен сумме длин его сторон.
Часто слова «любой», «каждый» опускают и говорят короче: «В неделе 7 дней», «Сумма двух чисел не зависит от порядка слагаемых». Смысл от этого не меняется.
Как опровергнуть
Не всякое красивое утверждение верно. В учебнике два ложных примера:
«Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3». Берём 1 и 3: \(1 + 3 = 4\), а 4 на 3 не делится. Утверждение ложно.
«Произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы». Берём 2 и 2: \(2 \cdot 2 = 4\) и \(2 + 2 = 4\) — уже не больше. Или 1 и 1: \(1 \cdot 1 = 1 < 1 + 1 = 2\).
Что такое контрпример
Контрпример — это один пример, который ломает общее утверждение. Приставка «контр-» значит «против», то есть пример против утверждения.
Житейский пример из учебника: чтобы опровергнуть «Все кошки чёрные», хватит показать одну белую, рыжую или полосатую кошку — и утверждение сразу рушится.
Главная мысль
- Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного контрпримера.
- Чтобы доказать, что оно верно, одного примера мало: нужно рассуждение, которое работает для всех случаев сразу.
Хочешь, разберём вместе задания 232–234 со следующей страницы?
Давай
Готов разобрать. Пришли, пожалуйста, фото следующей страницы или текст заданий 232–234 — по одним номерам я не смогу их решить. Если на фото что-то нечётко, лучше набери условие текстом.
Это продолжение той же темы, так что разбираю задания 232–234.
232. Какие высказывания — общие
Общие: 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11.
Почему:
- 1 — сказано про человека вообще, про каждого;
- 3 — про любую звезду;
- 4 — есть слово «все»;
- 6 — есть слово «каждой»;
- 7 — есть слово «все» (утверждение ложное, но общее по форме);
- 9 — есть слово «любого»;
- 11 — про блок-схемы вообще.
Не общие: 2, 5, 8, 10, 12 — в них стоит слово «некоторые», то есть говорится лишь о части предметов.
233. Примеры из разных областей
| Область | Истинное общее утверждение | Ложное общее утверждение |
|---|---|---|
| Математика | Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\) | Любое простое число нечётное (а \(2\) — чётное) |
| Русский язык | Каждое предложение выражает законченную мысль | Все существительные изменяются по падежам (а «пальто» — нет) |
| География | Все меридианы имеют одинаковую длину | Все реки впадают в море (Селенга впадает в озеро Байкал) |
| Астрономия | Все планеты обращаются вокруг Солнца | У каждой планеты есть спутники (у Меркурия и Венеры их нет) |
| Спорт | В футбольной команде на поле \(11\) игроков | Все Олимпийские игры проходят летом (есть зимние) |
| Жизнь | У каждого человека есть имя | Все птицы умеют летать (страус, пингвин — нет) |
234. Контрпримеры
- а) Все натуральные числа больше единицы. — Контрпример: \(1\) не больше \(1\).
- б) Любое натуральное число делится на \(2\). — Контрпример: \(3\) на \(2\) не делится.
- в) Всякое число, делящееся на \(5\), оканчивается цифрой \(5\). — Контрпример: \(10\) оканчивается на \(0\).
- г) Все города России находятся в Европе. — Контрпример: Владивосток, Новосибирск — они в Азии.
- д) Все города Европы находятся в России. — Контрпример: Париж, Берлин — в Европе, но не в России.
- е) В каждом месяце не меньше \(30\) дней. — Контрпример: февраль, в нём \(28\) или \(29\) дней.
- ж) Существительные на букву «е» всегда среднего рода. — Контрпример: кофе — мужской род.
- з) Подлежащее всегда существительное. — Контрпример: «Я читаю» — подлежащее «я», это местоимение.
Главное: каждый контрпример — это один конкретный случай, который ломает правило «все/каждый/любой».
Задание 235 — уже про дроби, это другая тема. Если нужно, разберу и его.
Это самостоятельное новое задание: страница про геометрию (параллелепипед, лучи, углы) и задачи на дроби. Оно не продолжает тему общих утверждений и контрпримеров.
Скажи, какой номер разобрать — 242–247, — и я помогу.
246
Условия задачи 246 я не вижу — в сообщении только номер, а изображение до меня не дошло. Пришли, пожалуйста, фото страницы с задачей 246 или набери её текст, и я разберу решение по шагам.
Т у П о й
