реши задание по стереометрии 5.3

Question

Расшифровка фото нейросетью:
5.3. (ОБЗ) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=4\sqrt{2}$, $AD=30$, $AA_1=35$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=6:1$ и $B_1F:FB=3:4$. Точка $T$ – середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Answer

Краткий ответ. а) $D_1$ действительно лежит в плоскости $EFT$;
б) площадь сечения равна
$$
S=\frac{765}{2}=382{,}5.
$$

Решение

Введём координаты. Пусть
$$
A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,30,0),\quad A_1(0,0,35),
$$
где
$$
a=AB=4\sqrt2.
$$
Тогда
$$
B_1(a,0,35),\quad C_1(a,30,35),\quad D_1(0,30,35).
$$

Из отношений на рёбрах:
$$
A_1E:EA=6:1 \Rightarrow EA=5,
$$
поэтому
$$
E(0,0,5).
$$
Аналогично
$$
B_1F:FB=3:4 \Rightarrow FB=20,
$$
значит,
$$
F(a,0,20).
$$
Точка $T$ — середина $B_1C_1$, поэтому
$$
T(a,15,35).
$$

а) Почему $D_1$ лежит в плоскости $EFT$

Вычислим векторы:
$$
\overrightarrow{FT}=(0,15,15),
$$
$$
\overrightarrow{ED_1}=(0,30,30)=2\overrightarrow{FT}.
$$
Следовательно,
$$
FT\parallel ED_1.
$$
Плоскость $EFT$ содержит прямую $FT$ и точку $E$. Значит, она содержит и прямую, проходящую через $E$ параллельно $FT$. На этой прямой лежит $D_1$. Поэтому
$$
D_1\in (EFT).
$$

б) Площадь сечения

Плоскость пересекает грани по отрезкам
$$
EF,\quad FT,\quad TD_1,\quad D_1E.
$$
Получается трапеция $EFTD_1$ с основаниями
$$
FT\parallel ED_1.
$$

Найдём длины оснований:
$$
FT=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt2,
$$
$$
ED_1=\sqrt{30^2+30^2}=30\sqrt2.
$$

Осталось найти высоту трапеции — расстояние между параллельными прямыми $FT$ и $ED_1$.

Направление оснований задаёт вектор
$$
\vec d=(0,1,1).
$$
Вектор
$$
\overrightarrow{EF}=(a,0,15)=(4\sqrt2,0,15).
$$
Его длина:
$$
|\overrightarrow{EF}|^2=(4\sqrt2)^2+15^2=32+225=257.
$$
Проекция $\overrightarrow{EF}$ на направление $\vec d$:
$$
\frac{\overrightarrow{EF}\cdot \vec d}{|\vec d|}
=\frac{15}{\sqrt2}.
$$
Поэтому
$$
h^2=257-\left(\frac{15}{\sqrt2}\right)^2
=257-\frac{225}{2}
=\frac{289}{2}.
$$
Отсюда
$$
h=\frac{17}{\sqrt2}.
$$

Площадь трапеции:
$$
S=\frac{FT+ED_1}{2}\cdot h
=\frac{15\sqrt2+30\sqrt2}{2}\cdot \frac{17}{\sqrt2}.
$$
Сокращаем $\sqrt2$:
$$
S=\frac{45}{2}\cdot 17=\frac{765}{2}=382{,}5.
$$

Ответ:
$$
\boxed{S=\frac{765}{2}=382{,}5}
$$

Главная идея для похожих задач: отношения на рёбрах сразу переводятся в координаты, параллельность векторов помогает доказать принадлежность точки плоскости, а площадь сечения удобно искать через трапецию или разбиение на треугольники.

реши задание по стереометрии 5.3

Решение

а) Почему \(D_1\) лежит в плоскости \(EFT\)

б) Площадь сечения