211. Решите уравнение: а) (8x − 1)(2x − 3) − (4x − 1)² = 38;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение: а) \((8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38\); б) \(\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}\); в) \(0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7\); г) \(x^4 - x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}\).
Краткие ответы: а) \(x=-2\); б) \(x=\pm\frac{1}{5}\); в) \(y=2\) или \(y=-\frac{7}{2}\); г) \(x=\pm\frac{1}{2}\).
Как решали
а) Раскрываем скобки и применяем формулу квадрата разности: \[ (8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38 \] \[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38 \] \[ -18x+2=38 \] \[ -18x=36,\qquad x=-2. \]
б) Используем разность квадратов: \[ \frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\frac{2}{3} \] \[ \frac{(15x-1)(15x+1)}{3}=\frac{8}{3}. \] Умножаем на \(3\): \[ 225x^2-1=8 \] \[ 225x^2=9,\qquad x^2=\frac{1}{25} \] \[ x=\pm\frac{1}{5}. \]
в) Сначала упрощаем произведение: \[ (y+1)(y-3)=y^2-2y-3. \] Тогда \[ 0{,}5y^3-0{,}5y(y^2-2y-3)=7 \] \[ y^2+\frac{3}{2}y=7. \] Умножим на \(2\): \[ 2y^2+3y-14=0. \] Дискриминант: \[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121. \] \[ y=\frac{-3\pm11}{4}. \] Отсюда \[ y=2,\qquad y=-\frac{7}{2}. \]
г) В условии читаю \(x^4-x^2\). Правая часть: \[ (1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1. \] Поэтому \[ x^4-x^2=\frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac{1}{4}. \] Слагаемое \(x^4\) сокращается: \[ -x^2=-\frac{1}{4} \] \[ x^2=\frac{1}{4} \] \[ x=\pm\frac{1}{2}. \]
Главное в таких заданиях — сначала упростить уравнение формулами сокращённого умножения, а при извлечении квадратного корня не забыть оба знака: \(\pm\).
Обсуждение
4 сообщенияПод г
Пункт г): \[ x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4} \]
Сначала упростим правую часть. В числителе — разность квадратов: \[ (1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1. \]
Значит, \[ x^4-x^2=\frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14. \]
Слагаемое \(x^4\) слева и справа сокращается: \[ -x^2=-\frac14. \]
Умножим на \(-1\): \[ x^2=\frac14. \]
Отсюда два значения: \[ x=\pm\frac12. \]
Ответ: \(x=\frac12\) или \(x=-\frac12\).
Проверка: при \(x=\frac12\) получаем \(x^2=\frac14\), значит, обе части уравнения равны. Для \(x=-\frac12\) результат такой же, потому что \(x\) стоит только в чётных степенях.
Там х в 4 умножить на х во 2
Понял, проверил вариант с умножением.
Если слева действительно \(x^4 \cdot x^2\), то это \(x^6\), и уравнение принимает вид \[ x^6=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}. \] Правая часть равна \[ \frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14. \] Тогда \[ x^6=x^4-\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad x^6-x^4+\frac14=0. \] Обозначим \(t=x^2\ge 0\). Получаем \[ t^3-t^2+\frac14=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4t^3-4t^2+1=0. \] У этого уравнения нет неотрицательных корней: его левая часть при \(t\ge 0\) всегда положительна. Значит, действительных \(x\) нет.
Поэтому в задании почти наверняка стоит минус, а не точка: \[ x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}. \] Тогда \[ x^4-x^2=x^4-\frac14 \] \[ -x^2=-\frac14 \] \[ x^2=\frac14 \] \[ x=\pm\frac12. \]
Посмотри, пожалуйста, ещё раз на знак в учебнике: если там тире, то ответ \(x=\pm\frac12\); если действительно точка умножения, то действительных корней нет.
