Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
б) \(\sqrt{900}\cdot\sqrt{100}=...\,30\cdot10=300\) [обрезано сверху]
в) \(\sqrt{5^{4}\cdot7^{2}}=\sqrt{(5^{2}\cdot7)^{2}}=5^{2}\cdot7\) \(=175\)
\(\sqrt{2}\)
а) \(\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}}=\dfrac{5}{8}\)
б) \(\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot14}=\sqrt{7}\) [обрезано]
в) \(2(\sqrt{3})^{2}=2\cdot3=6\)
г) \(3\cdot\sqrt{\dfrac{4}{9}}+\sqrt{0{,}25}=3\cdot\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\) [обрезано]
\(=\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{6}+\dfrac{3}{6}\) [обрезано]
Краткий ответ
- а) \(\dfrac{5}{8}\)
- б) \(28\)
- в) \(6\)
- г) \(2{,}5=\dfrac{5}{2}\)
Верхние номера на фото тоже решены верно: \(\sqrt{900}\cdot\sqrt{100}=30\cdot10=300\) и \(\sqrt{5^{4}\cdot7^{2}}=5^{2}\cdot7=175\).
Три правила, из которых всё получается
- Корень из произведения: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) — множители можно занести под один корень.
- Корень из дроби: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) — корень берётся отдельно от числителя и знаменателя.
- Корень и квадрат: \(\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\) при \(a\ge 0\) — они «снимают» друг друга.
Разбор по пунктам
а) \(\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}}=\dfrac{5}{8}\). Проверка: \(\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}=\dfrac{25}{64}\) — сходится.
б) \(\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot14}=\sqrt{784}=28\). Как увидеть это без калькулятора: \(56=4\cdot14\), значит \(56\cdot14=4\cdot14^{2}=(2\cdot14)^{2}=28^{2}\). Проверка: \(28^{2}=784\), всё верно. В тетради строка обрывается на «\(\sqrt{7\ldots}\)» — там должно получиться \(28\).
в) \(2\left(\sqrt{3}\right)^{2}=2\cdot3=6\). Сначала квадрат снимает корень (остаётся \(3\)), потом умножаем на \(2\).
г) \(3\sqrt{\dfrac{4}{9}}+\sqrt{0{,}25}=3\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=2+\dfrac{1}{2}=2{,}5\). Порядок действий: сначала «раскрываем» каждый корень, затем умножаем на коэффициент, и только в конце складываем.
Где в тетради ошибка
В строке с г) появились \(\dfrac{6}{9}\) и \(\dfrac{1}{4}\) — оба числа неверные:
- \(3\cdot\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=3\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{3\cdot2}{3}=2\). Тройка в числителе сокращается с тройкой в знаменателе; \(\dfrac{6}{9}\) получается, если это сокращение не сделать.
- \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5=\dfrac{1}{2}\), а не \(\dfrac{1}{4}\): проверка \(0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\).
Поэтому правильно: \(2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\).
Как решать похожее задание
- Разбей корни: корень из произведения — на множители, корень из дроби — на числитель и знаменатель.
- Вычисли каждый простой корень отдельно (квадраты чисел до \(30\) полезно помнить: \(25^{2}=625\), \(28^{2}=784\), \(30^{2}=900\)).
- Только после этого умножай и складывай, приводи к общему знаменателю.
- В конце проверь себя обратным действием — возведи ответ в квадрат.
