Реши номер 8.23 по образцу ,если что вот образец Расшифровка фото нейросетью: № 8.20 1. \(x^2-8|x|-33 0\) { если \(x\ge0\), то \(8x^2+7x-1\ge0\) если \(x<0\), то \(8x^2-7x-1\ge0\) } 1. \(8x^2+7x-1\ge0\) \(D=b^2-4ac=49+4\cdot8=81\) \(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-9}{16}=-1\) \(x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+9}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\) 2. \(8x^2-7x-1\ge0\) \(D=b^2-4ac=49+8\cdot4=81\) \(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-9}{16}=-\frac{1}{8}\) \(x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+9}{16}=\frac{16}{16}=1\) 8.23. Решите неравенство: 1. \(|x^2+5x|<6\); 4) \(|x^2-3x|\ge x+5\); 2. \(|x^2+3x|<x+4\); 5) \(x|3x-1|<-2\); 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\); 6) \(x^2+|x-3|-9<0\).

Задача · 10 класс Задача №3791049

Аноним

14 часов назад · публичный вопрос

Аноним 14 часов назад

Реши номер 8.23 по образцу ,если что вот образец

Ответ нейросети

14 часов назад

Краткие ответы

\(\left(-6;-3\right)\cup\left(-2;1\right)\)
\(\left(-1-\sqrt5;-2\right)\cup\left(-2;-1+\sqrt5\right)\)
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)
\(\left(-\infty;-1\right]\cup\left[5;+\infty\right)\)
\(\left(-\infty;-\dfrac23\right)\)
\(\left(-2;3\right)\)

Как решать

В образце модуль раскрывают по знаку выражения. Здесь тот же принцип, только для готовых переходов использую свойства модуля:

\[ |u|<c \ \ (c>0)\iff -c<u<c, \] \[ |u|\ge v\iff u\ge v \quad\text{или}\quad u\le -v. \]

Для неравенства вида \(|u|<v\) обязательно нужно, чтобы \(v>0\).

1)
\[ |x^2+5x|<6\iff -6<x^2+5x<6. \]

Получаем две системы:

\[ x^2+5x+6>0 \iff (x+2)(x+3)>0, \] отсюда \[ x<-3 \quad\text{или}\quad x>-2. \]

И \[ x^2+5x-6<0 \iff (x+6)(x-1)<0, \] отсюда \[ -6<x<1. \]

Пересечение: \[ x\in(-6;-3)\cup(-2;1). \]

2)
Правая часть должна быть положительной: \[ x+4>0. \]

Тогда \[ |x^2+3x|<x+4\iff -x-4<x^2+3x<x+4. \]

Левое неравенство: \[ x^2+4x+4>0\iff (x+2)^2>0, \] значит \[ x\ne -2. \]

Правое: \[ x^2+2x-4<0. \] Корни: \[ x=-1\pm\sqrt5. \] Поэтому \[ -1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5. \]

Осталось исключить \(x=-2\), потому что при нём левая часть равна правой, а неравенство строгое: \[ x\in\left(-1-\sqrt5;-2\right)\cup\left(-2;-1+\sqrt5\right). \]

3)
\[ x^2-x-2<|5x-3|. \]

То есть \[ 5x-3>x^2-x-2 \] или \[ 5x-3<-(x^2-x-2). \]

Первое: \[ 5x-3>x^2-x-2 \iff x^2-6x+1<0. \] Корни: \[ x=3\pm2\sqrt2, \] поэтому \[ 3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2. \]

Второе: \[ 5x-3<-x^2+x+2 \iff x^2+4x-5<0, \] \[ (x+5)(x-1)<0, \] отсюда \[ -5<x<1. \]

Объединяем: \[ x\in\left(-5;3+2\sqrt2\right). \]

4)
\[ |x^2-3x|\ge x+5. \]

\[ x^2-3x\ge x+5 \] или \[ x^2-3x\le -x-5. \]

Первое: \[ x^2-4x-5\ge0, \] \[ (x-5)(x+1)\ge0, \] \[ x\le -1 \quad\text{или}\quad x\ge5. \]

Второе: \[ x^2-2x+5\le0. \] Но \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0, \] значит это неравенство решений не имеет.

Ответ: \[ x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty). \]

5)
\[ x|3x-1|<-2. \]

Если \(x\ge0\), то левая часть неотрицательна и не может быть меньше \(-2\). Значит, \(x<0\).

При \(x<0\): \[ 3x-1<0, \] поэтому \[ |3x-1|=1-3x. \]

Получаем: \[ x(1-3x)<-2. \] \[ x-3x^2<-2, \] \[ 3x^2-x-2>0. \] \[ (3x+2)(x-1)>0. \]

Корни: \(x=-\dfrac23\) и \(x=1\). Решение квадратного неравенства: \[ x<-\frac23 \quad\text{или}\quad x>1. \]

Но \(x<0\), поэтому: \[ x\in\left(-\infty;-\frac23\right). \]

6)
\[ x^2+|x-3|-9<0. \]

Разбираем два случая.

Если \(x\ge3\), то \(|x-3|=x-3\): \[ x^2+x-3-9<0, \] \[ x^2+x-12<0, \] \[ (x+4)(x-3)<0, \] \[ -4<x<3. \] С условием \(x\ge3\) решений нет.

Если \(x<3\), то \(|x-3|=3-x\): \[ x^2+3-x-9<0, \] \[ x^2-x-6<0, \] \[ (x-3)(x+2)<0, \] \[ -2<x<3. \]

Ответ: \[ x\in(-2;3). \]

Проверка

Я проверил интервалы контрольными точками: например, в 1) \(x=0\) даёт \(0<6\); в 2) \(x=0\) даёт \(0<4\), а \(x=-2\) не подходит; в 3) \(x=0\) даёт \(-2<3\); в 4) \(x=-2\) даёт \(10\ge3\); в 5) \(x=-1\) даёт \(-4<-2\); в 6) \(x=0\) даёт \(-6<0\). Границы \(x=-3,-2,-5,3,-\frac23\) либо обращают неравенство в равенство, либо не входят по строгому знаку.

Обсуждение

21 сообщение

Аноним 13 часов назад

Ты даже не смотрел на пример то есть на образец , в начале переписывает выражения потом ставит фигурную скобку и пишут в ней два выражения если икс например х больше или равно нулю то выражение там какую-нибудь , потом если икс меньше нуля то выражения тоже какой-нибудь … потом расписывают на каждое выражение переписывает и расписывают находит дискриминант каждого записывают ответ . Чертят пора буллу и отмечает всё и закрашивают ещё полосочками.

Нейросеть13 часов назад

Согласен: в прошлый раз я не расписал раскрытие модуля по вашему образцу. Исправляюсь. Теперь для каждого номера сначала раскрываю модуль по знаку выражения под модулем — получаю два случая. Затем решаю каждый случай, нахожу дискриминант и корни, объединяю и отмечаю на числовой прямой.

1) \(|x^2+5x|<6\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } x^2+5x\ge0,\quad \text{то } x^2+5x<6;\\ &\text{если } x^2+5x<0,\quad \text{то } -(x^2+5x)<6. \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(x^2+5x\ge0 \iff x\le -5\) или \(x\ge0\).
\(x^2+5x-6<0\): \(D=25+24=49\), корни \(x=-6\) и \(x=1\), значит \(-6<x<1\).
Пересечение: \((-6;-5]\cup[0;1)\).

2-й случай:
\(x^2+5x<0 \iff -5<x<0\).
\(-x^2-5x<6 \iff x^2+5x+6>0\): \(D=25-24=1\), корни \(x=-3\) и \(x=-2\), значит \(x<-3\) или \(x>-2\).
Пересечение: \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

Объединяю: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).
На прямой: точки \(-6,-3,-2,1\) выколоты, штриховка на \((-6;-3)\) и \((-2;1)\).

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

2) \(|x^2+3x|<x+4\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } x^2+3x\ge0,\quad \text{то } x^2+3x<x+4;\\ &\text{если } x^2+3x<0,\quad \text{то } -(x^2+3x)<x+4. \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(x^2+3x\ge0 \iff x\le -3\) или \(x\ge0\).
\(x^2+2x-4<0\): \(D=4+16=20\), корни \(x=-1\pm\sqrt5\), значит \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\).
Пересечение: \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).

2-й случай:
\(x^2+3x<0 \iff -3<x<0\).
\(-x^2-3x<x+4 \iff x^2+4x+4>0 \iff (x+2)^2>0 \iff x\ne -2\).
Пересечение: \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

Объединяю: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).
На прямой: выколоты \(-1-\sqrt5,-2,-1+\sqrt5\); штриховка на двух интервалах.

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

3) \(x^2-x-2<|5x-3|\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } 5x-3\ge0,\quad \text{то } x^2-x-2<5x-3;\\ &\text{если } 5x-3<0,\quad \text{то } x^2-x-2<-(5x-3). \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35\).
\(x^2-6x+1<0\): \(D=36-4=32\), корни \(x=3\pm2\sqrt2\), значит \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\).
Пересечение с \(x\ge\frac35\): \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).

2-й случай:
\(5x-3<0 \iff x<\frac35\).
\(x^2+4x-5<0\): \(D=16+20=36\), корни \(x=-5\) и \(x=1\), значит \(-5<x<1\).
Пересечение с \(x<\frac35\): \(\left(-5;\frac35\right)\).

Объединяю: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).
На прямой: выколоты \(-5\) и \(3+2\sqrt2\); точка \(\frac35\) входит, поэтому штриховка сплошная.

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

4) \(|x^2-3x|\ge x+5\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } x^2-3x\ge0,\quad \text{то } x^2-3x\ge x+5;\\ &\text{если } x^2-3x<0,\quad \text{то } -(x^2-3x)\ge x+5. \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(x^2-3x\ge0 \iff x\le0\) или \(x\ge3\).
\(x^2-4x-5\ge0\): \(D=16+20=36\), корни \(x=-1\) и \(x=5\), значит \(x\le -1\) или \(x\ge5\).
Пересечение: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

2-й случай:
\(x^2-3x<0 \iff 0<x<3\).
\(-x^2+3x\ge x+5 \iff x^2-2x+5\le0\): \(D=4-20=-16<0\), решений нет.

Объединяю: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).
На прямой: точки \(-1\) и \(5\) закрашены (квадратные скобки), штриховка влево от \(-1\) и вправо от \(5\).

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

5) \(x|3x-1|<-2\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } 3x-1\ge0,\quad \text{то } x(3x-1)<-2;\\ &\text{если } 3x-1<0,\quad \text{то } x(-(3x-1))<-2. \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13\).
\(3x^2-x+2<0\): \(D=1-24=-23<0\), решений нет.

2-й случай:
\(3x-1<0 \iff x<\frac13\).
\(-3x^2+x+2<0 \iff 3x^2-x-2>0\): \(D=1+24=25\), корни \(x=1\) и \(x=-\frac23\), значит \(x<-\frac23\) или \(x>1\).
Пересечение с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

Объединяю: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).
На прямой: выколота \(-\frac23\), штриховка влево.

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

6) \(x^2+|x-3|-9<0\).

\[ \left\{ \begin{aligned} &\text{если } x-3\ge0,\quad \text{то } x^2+(x-3)-9<0;\\ &\text{если } x-3<0,\quad \text{то } x^2-(x-3)-9<0. \end{aligned} \right. \]

1-й случай:
\(x-3\ge0 \iff x\ge3\).
\(x^2+x-12<0\): \(D=1+48=49\), корни \(x=-4\) и \(x=3\), значит \(-4<x<3\).
Пересечение с \(x\ge3\): пусто.

2-й случай:
\(x-3<0 \iff x<3\).
\(x^2-x-6<0\): \(D=1+24=25\), корни \(x=-2\) и \(x=3\), значит \(-2<x<3\).
Пересечение с \(x<3\): \((-2;3)\).

Объединяю: \((-2;3)\).
На прямой: выколоты \(-2\) и \(3\), штриховка между ними.

Ответ: \((-2;3)\).

Итоговые ответы:

\((-6;-3)\cup(-2;1)\)
\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)
\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)
\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)
\((-2;3)\)

Аноним 13 часов назад

Ты точно все правильно сделал?

Нейросеть13 часов назад

Да, я перепроверил все шесть номеров — ответы остаются прежними. Ниже проверка по точкам и по дискриминантам, чтобы это было видно, а не на слово.

Проверка ответов точками из интервалов

№	Ответ	Проверка внутри	Проверка «выколотой» границы
1	\((-6;-3)\cup(-2;1)\)	\(x=-4:\ \lvert16-20\rvert=4<6\); \(x=0:\ 0<6\)	\(x=-3:\ \lvert9-15\rvert=6\) — равенство, не подходит; \(x=-6:\ 6\) — тоже
2	\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)	\(x=-3{,}1:\ 0{,}31<0{,}9\); \(x=-1:\ 2<3\); \(x=1:\ 4<5\)	\(x=-2:\ 2<2\) ложно, поэтому точка выколота
3	\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)	\(x=0:\ -2<3\); \(x=5:\ 18<22\)	\(x=-5:\ 28=28\) — равенство, не подходит
4	\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)	\(x=-2:\ 10\ge3\); \(x=6:\ 18\ge11\)	\(x=-1:\ 4\ge4\) — верно, поэтому скобка квадратная
5	\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)	\(x=-1:\ -4<-2\)	\(x=-\frac23:\ -2<-2\) ложно — точка выколота
6	\((-2;3)\)	\(x=0:\ -6<0\); \(x=2{,}9:\ -0{,}49<0\)	\(x=3:\ 0<0\) ложно; \(x=-2:\ 0<0\) ложно

Пересчёт дискриминантов

\(x^2+5x-6\): \(D=49\), корни \(-6;1\). \(x^2+5x+6\): \(D=1\), корни \(-3;-2\).
\(x^2+2x-4\): \(D=20\), корни \(-1\pm\sqrt5\). Во втором случае \((x+2)^2>0\), то есть \(D=0\).
\(x^2-6x+1\): \(D=32\), корни \(3\pm2\sqrt2\). \(x^2+4x-5\): \(D=36\), корни \(-5;1\).
\(x^2-4x-5\): \(D=36\), корни \(-1;5\). Во втором случае \(x^2-2x+5\): \(D=-16<0\) — решений нет.
\(3x^2-x+2\): \(D=-23<0\) — решений нет; \(3x^2-x-2\): \(D=25\), корни \(1\) и \(-\frac23\).
\(x^2+x-12\): \(D=49\), корни \(-4;3\); \(x^2-x-6\): \(D=25\), корни \(-2;3\).

Три места, где чаще всего теряют ответ (у меня они учтены):

№2: \((x+2)^2>0\) — строгое, поэтому \(x=-2\) обязательно выкалываем; иначе получится «лишний» интервал.
№3: в точке \(x=\frac35\) модуль равен нулю, и она подходит: \(\frac{9}{25}-\frac35-2<0\). Поэтому два случая склеиваются в один сплошной интервал без разрыва в \(\frac35\).
№4, 6: во «втором» (или «первом») случае пересечение с условием раскрытия модуля пустое — этот случай просто не даёт решений, а не даёт весь интервал.

Если нужно, оформлю так же, как в образце: с фигурной скобкой «системой двух случаев» под каждым номером, но с явной строкой «если \(x^2+5x\ge0\), то \(|x^2+5x|=x^2+5x\)» — скажи, и перепишу в этом виде.

Аноним 13 часов назад

Да оформи как в образце и ещё сделай рисунок

Нейросеть13 часов назад

Оформляю по образцу: сначала раскрываю модуль «фигурной скобкой» (два случая по знаку подмодульного выражения), потом каждый случай решаю как систему — дискриминант, корни, пересечение с условием, — затем объединяю и рисую числовую прямую.

Обозначения на рисунках: ○ — точка выколота, ● — точка входит, ═ — закрашенная часть (решение).

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

\[ |x^2+5x|= \begin{cases} x^2+5x, & \text{если } x^2+5x\ge0;\\ -(x^2+5x), & \text{если } x^2+5x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2+5x\ge0 \iff x\le-5 \text{ или } x\ge0;\\ x^2+5x<6. \end{cases} \] \(x^2+5x-6<0\), \(D=25+24=49\), \(x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{2}=-6;\ 1\), значит \(-6<x<1\). Пересечение с условием: \((-6;-5]\cup[0;1)\).

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2+5x<0 \iff -5<x<0;\\ -x^2-5x<6 \iff x^2+5x+6>0. \end{cases} \] \(D=25-24=1\), \(x_{1,2}=\frac{-5\pm1}{2}=-3;\ -2\), значит \(x<-3\) или \(x>-2\). Пересечение: \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

        −6         −3 −2        1
   ─────○══════════○──○═════════○────► x

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

\[ |x^2+3x|= \begin{cases} x^2+3x, & \text{если } x^2+3x\ge0;\\ -(x^2+3x), & \text{если } x^2+3x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2+3x\ge0 \iff x\le-3 \text{ или } x\ge0;\\ x^2+3x<x+4. \end{cases} \] \(x^2+2x-4<0\), \(D=4+16=20\), \(x_{1,2}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{2}=-1\pm\sqrt5\), значит \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\) (это примерно от \(-3{,}24\) до \(1{,}24\)). Пересечение: \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2+3x<0 \iff -3<x<0;\\ -x^2-3x<x+4. \end{cases} \] \(x^2+4x+4>0\), \(D=16-16=0\), корень \(x=-2\) (двойной): \((x+2)^2>0\), то есть \(x\ne-2\). Пересечение: \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\) — при склейке \((-1-\sqrt5;-3]\) с \((-3;-2)\) и \([0;-1+\sqrt5)\) с \((-2;0)\) остаётся только выколотая \(-2\).

     −1−√5        −2        −1+√5
   ────○═══════════○═══════════○────► x

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

\[ |5x-3|= \begin{cases} 5x-3, & \text{если } 5x-3\ge0;\\ -(5x-3), & \text{если } 5x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} 5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35;\\ x^2-x-2<5x-3. \end{cases} \] \(x^2-6x+1<0\), \(D=36-4=32\), \(x_{1,2}=3\pm2\sqrt2\) (примерно \(0{,}17\) и \(5{,}83\)), значит \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\). Так как \(3-2\sqrt2<0{,}6\), пересечение с \(x\ge\frac35\): \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).

Случай 2. \[ \begin{cases} 5x-3<0 \iff x<\frac35;\\ x^2-x-2<-5x+3. \end{cases} \] \(x^2+4x-5<0\), \(D=16+20=36\), \(x_{1,2}=-5;\ 1\), значит \(-5<x<1\). Пересечение: \(\left(-5;\frac35\right)\).

Объединение: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\) — точка \(\frac35\) внутри и не выкалывает интервал.

       −5                    3+2√2
   ─────○═════════════════════○────► x

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ |x^2-3x|= \begin{cases} x^2-3x, & \text{если } x^2-3x\ge0;\\ -(x^2-3x), & \text{если } x^2-3x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2-3x\ge0 \iff x\le0 \text{ или } x\ge3;\\ x^2-3x\ge x+5. \end{cases} \] \(x^2-4x-5\ge0\), \(D=16+20=36\), \(x_{1,2}=-1;\ 5\), значит \(x\le-1\) или \(x\ge5\). Пересечение: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2-3x<0 \iff 0<x<3;\\ -x^2+3x\ge x+5. \end{cases} \] \(x^2-2x+5\le0\), \(D=4-20=-16<0\) — решений нет, этот случай ничего не даёт.

Объединение: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

              −1              5
   ◄═══════════●──────────────●═══════════► x

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

\[ |3x-1|= \begin{cases} 3x-1, & \text{если } 3x-1\ge0;\\ -(3x-1), & \text{если } 3x-1<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} 3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13;\\ x(3x-1)<-2. \end{cases} \] \(3x^2-x+2<0\), \(D=1-24=-23<0\) — решений нет.

Случай 2. \[ \begin{cases} 3x-1<0 \iff x<\frac13;\\ x(1-3x)<-2. \end{cases} \] \(-3x^2+x+2<0 \iff 3x^2-x-2>0\), \(D=1+24=25\), \(x_{1,2}=\frac{1\pm5}{6}=-\frac23;\ 1\), значит \(x<-\frac23\) или \(x>1\). Пересечение с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

Объединение: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

              −2/3
   ◄═══════════○───────────────────► x

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

\[ |x-3|= \begin{cases} x-3, & \text{если } x-3\ge0;\\ -(x-3), & \text{если } x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x-3\ge0 \iff x\ge3;\\ x^2+x-3-9<0. \end{cases} \] \(x^2+x-12<0\), \(D=1+48=49\), \(x_{1,2}=-4;\ 3\), значит \(-4<x<3\). Пересечение с \(x\ge3\) пусто: при \(x=3\) получаем \(0<0\) — неверно.

Случай 2. \[ \begin{cases} x-3<0 \iff x<3;\\ x^2-x+3-9<0. \end{cases} \] \(x^2-x-6<0\), \(D=1+24=25\), \(x_{1,2}=-2;\ 3\), значит \(-2<x<3\). Пересечение: \((-2;3)\).

Объединение: \((-2;3)\).

             −2              3
   ──────────○═══════════════○─────────► x

Ответ: \((-2;3)\).

Итог: 1) \((-6;-3)\cup(-2;1)\); 2) \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\); 3) \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\); 4) \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\); 5) \(\left(-\infty;-\frac23\right)\); 6) \((-2;3)\).

Я перепроверил каждый ответ подстановкой точек и пересчётом всех дискриминантов — расхождений нет. Если в образце прямая нарисована иначе (например, точки подписывают снизу или штрихуют «палочками»), скажи — перерисую точно в таком же виде.

Аноним 13 часов назад

Как бы для каждого случая надо свой рисунок и он должен состоять из точек они могут быть закрашенными или нет , и ещё пора бы + с закрашенными линиями в одну или в другую сторону.

Нейросеть13 часов назад

Понял: отдельный рисунок на каждый случай, с закрашенными и выколотыми точками и закраской в нужную сторону. Вот так.

Обозначения на рисунках: ● — точка входит, ○ — точка выколота, ═ — закрашенная часть (решение), ► — направление луча.

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

\[ |x^2+5x|= \begin{cases} x^2+5x, & \text{если } x^2+5x\ge0;\\ -(x^2+5x), & \text{если } x^2+5x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2+5x\ge0 \iff x\le-5 \text{ или } x\ge0;\\ x^2+5x<6. \end{cases} \] \(x^2+5x-6<0\), \(D=25+24=49\), корни \(-6\) и \(1\), значит \(-6<x<1\).
Пересечение: \((-6;-5]\cup[0;1)\).

        −6       −5         0         1
   ─────○════════●─────────●═════════○────► x

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2+5x<0 \iff -5<x<0;\\ -x^2-5x<6 \iff x^2+5x+6>0. \end{cases} \] \(D=25-24=1\), корни \(-3\) и \(-2\), значит \(x<-3\) или \(x>-2\).
Пересечение: \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

        −5       −3   −2          0
   ─────○════════○────○═══════════○────► x

Объединение: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

        −6       −3   −2          1
   ─────○════════○────○═══════════○────► x

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

\[ |x^2+3x|= \begin{cases} x^2+3x, & \text{если } x^2+3x\ge0;\\ -(x^2+3x), & \text{если } x^2+3x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2+3x\ge0 \iff x\le-3 \text{ или } x\ge0;\\ x^2+3x<x+4. \end{cases} \] \(x^2+2x-4<0\), \(D=4+16=20\), корни \(-1\pm\sqrt5\), значит \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\).
Пересечение: \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).

     −1−√5    −3        0      −1+√5
   ────○═══════●────────●═══════○────► x

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2+3x<0 \iff -3<x<0;\\ -x^2-3x<x+4. \end{cases} \] \(x^2+4x+4>0\), \(D=16-16=0\), \((x+2)^2>0\), значит \(x\ne-2\).
Пересечение: \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

        −3      −2        0
   ─────○═══════○═════════○────► x

Объединение: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

     −1−√5        −2        −1+√5
   ────○═══════════○═══════════○────► x

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

\[ |5x-3|= \begin{cases} 5x-3, & \text{если } 5x-3\ge0;\\ -(5x-3), & \text{если } 5x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} 5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35;\\ x^2-x-2<5x-3. \end{cases} \] \(x^2-6x+1<0\), \(D=36-4=32\), корни \(3\pm2\sqrt2\), значит \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\).
Пересечение с \(x\ge\frac35\): \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).

             3/5              3+2√2
   ───────────●════════════════○────► x

Случай 2. \[ \begin{cases} 5x-3<0 \iff x<\frac35;\\ x^2-x-2<-5x+3. \end{cases} \] \(x^2+4x-5<0\), \(D=16+20=36\), корни \(-5\) и \(1\), значит \(-5<x<1\).
Пересечение: \(\left(-5;\frac35\right)\).

        −5              3/5
   ─────○═══════════════○────► x

Объединение: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

        −5                          3+2√2
   ─────○═══════════════════════════○────► x

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ |x^2-3x|= \begin{cases} x^2-3x, & \text{если } x^2-3x\ge0;\\ -(x^2-3x), & \text{если } x^2-3x<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x^2-3x\ge0 \iff x\le0 \text{ или } x\ge3;\\ x^2-3x\ge x+5. \end{cases} \] \(x^2-4x-5\ge0\), \(D=16+20=36\), корни \(-1\) и \(5\), значит \(x\le-1\) или \(x\ge5\).
Пересечение: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

              −1                  5
   ◄══════════●───────────────────●═════════► x

Случай 2. \[ \begin{cases} x^2-3x<0 \iff 0<x<3;\\ -x^2+3x\ge x+5. \end{cases} \] \(x^2-2x+5\le0\), \(D=4-20=-16<0\) — решений нет.

        0         3
   ─────○─────────○────► x     D < 0 — решений нет

Объединение: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

              −1                  5
   ◄══════════●───────────────────●═════════► x

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

\[ |3x-1|= \begin{cases} 3x-1, & \text{если } 3x-1\ge0;\\ -(3x-1), & \text{если } 3x-1<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} 3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13;\\ x(3x-1)<-2. \end{cases} \] \(3x^2-x+2<0\), \(D=1-24=-23<0\) — решений нет.

              1/3
   ────────────●────► x     D < 0 — решений нет

Случай 2. \[ \begin{cases} 3x-1<0 \iff x<\frac13;\\ x(1-3x)<-2. \end{cases} \] \(-3x^2+x+2<0 \iff 3x^2-x-2>0\), \(D=1+24=25\), корни \(-\frac23\) и \(1\), значит \(x<-\frac23\) или \(x>1\).
Пересечение с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

             −2/3
   ◄══════════○────────► x

Объединение: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

             −2/3
   ◄══════════○────────► x

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

\[ |x-3|= \begin{cases} x-3, & \text{если } x-3\ge0;\\ -(x-3), & \text{если } x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1. \[ \begin{cases} x-3\ge0 \iff x\ge3;\\ x^2+x-12<0. \end{cases} \] \(x^2+x-12<0\), \(D=1+48=49\), корни \(-4\) и \(3\), значит \(-4<x<3\).
Пересечение с \(x\ge3\) пусто: при \(x=3\) получаем \(0<0\) — неверно.

        −4              3
   ─────○═══════════════○────► x     решение: −4<x<3
                         ●           условие: x≥3

Случай 2. \[ \begin{cases} x-3<0 \iff x<3;\\ x^2-x-6<0. \end{cases} \] \(x^2-x-6<0\), \(D=1+24=25\), корни \(-2\) и \(3\), значит \(-2<x<3\).
Пересечение: \((-2;3)\).

             −2              3
   ──────────○═══════════════○────► x

Объединение: \((-2;3)\).

             −2              3
   ──────────○═══════════════○────► x

Ответ: \((-2;3)\).

Итог:

\((-6;-3)\cup(-2;1)\);
\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\);
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\);
\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\);
\(\left(-\infty;-\frac23\right)\);
\((-2;3)\).

Я перепроверил все корни, дискриминанты и границы: в каждом случае рисунок соответствует пересечению условия раскрытия модуля с решением неравенства, а итоговый рисунок — объединению.

Аноним 13 часов назад

ладно рисунки убери, но сделай так чтоб каждый шаг распиши прям.

Нейросеть13 часов назад

Рисунки убрал. Ниже каждый шаг отдельной строкой: раскрытие модуля, условие каждого случая, приведение неравенства к стандартному виду, дискриминант, корни, вывод о знаках, пересечение с условием, объединение и ответ.

Напоминаю формулы, которые использую: \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] Если \(a>0\) и \(D>0\), то \(ax^2+bx+c<0\) между корнями, а \(>0\) — вне корней.

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |x^2+5x|= \begin{cases} x^2+5x, & \text{если } x^2+5x\ge0;\\[2pt] -(x^2+5x), & \text{если } x^2+5x<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(x^2+5x\ge0\)

Шаг 2. Решаем условие. \[ x^2+5x\ge0 \iff x(x+5)\ge0. \] Корни \(0\) и \(-5\), ветви вверх, знак «\(\ge0\)» — вне корней: \[ x\le-5 \quad\text{или}\quad x\ge0. \]

Шаг 3. Решаем само неравенство случая. \[ x^2+5x<6 \iff x^2+5x-6<0. \] \[ D=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49,\qquad \sqrt{D}=7. \] \[ x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-5+7}{2}=1. \] Ветви вверх, знак «\(<0\)» — между корнями: \[ -6<x<1. \]

Шаг 4. Пересекаем с условием \(x\le-5\) или \(x\ge0\). \[ (-6;1)\cap\bigl((-\infty;-5]\cup[0;+\infty)\bigr)=(-6;-5]\cup[0;1). \]

Случай 2: \(x^2+5x<0\)

Шаг 5. Решаем условие. Корни те же \(0\) и \(-5\), знак «\(<0\)» — между корнями: \[ -5<x<0. \]

Шаг 6. Решаем само неравенство случая. \[ -(x^2+5x)<6 \iff -x^2-5x-6<0 \iff x^2+5x+6>0 \] (умножили на \(-1\), знак неравенства поменялся). \[ D=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad \sqrt{D}=1. \] \[ x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2. \] Ветви вверх, знак «\(>0\)» — вне корней: \[ x<-3 \quad\text{или}\quad x>-2. \]

Шаг 7. Пересекаем с условием \(-5<x<0\). \[ (-5;0)\cap\bigl((-\infty;-3)\cup(-2;+\infty)\bigr)=(-5;-3)\cup(-2;0). \]

Шаг 8. Объединяем результаты случаев

\[ (-6;-5]\cup[0;1)\cup(-5;-3)\cup(-2;0). \] Промежутки \((-6;-5]\) и \((-5;-3)\) склеиваются в \((-6;-3)\), потому что точка \(-5\) попала в первый из них. Промежутки \((-2;0)\) и \([0;1)\) склеиваются в \((-2;1)\), потому что точка \(0\) попала во второй из них.

Ответ: \(\boxed{(-6;-3)\cup(-2;1)}\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |x^2+3x|= \begin{cases} x^2+3x, & \text{если } x^2+3x\ge0;\\[2pt] -(x^2+3x), & \text{если } x^2+3x<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(x^2+3x\ge0\)

Шаг 2. Условие. \[ x^2+3x\ge0 \iff x(x+3)\ge0. \] Корни \(0\) и \(-3\), ветви вверх, «\(\ge0\)» — вне корней: \[ x\le-3 \quad\text{или}\quad x\ge0. \]

Шаг 3. Неравенство случая. \[ x^2+3x<x+4 \iff x^2+2x-4<0. \] \[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-4)=4+16=20,\qquad \sqrt{D}=2\sqrt5. \] \[ x_1=\frac{-2-2\sqrt5}{2}=-1-\sqrt5,\qquad x_2=\frac{-2+2\sqrt5}{2}=-1+\sqrt5. \] Поскольку \(a=1>0\), знак «\(<0\)» — между корнями: \[ -1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5. \] Для ориентира: \(-1-\sqrt5\approx-3{,}24\), \(-1+\sqrt5\approx1{,}24\).

Шаг 4. Пересечение с условием. Так как \(-3\) лежит внутри интервала \((-1-\sqrt5;-1+\sqrt5)\), а \(0\) тоже внутри, получаем: \[ (-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5). \]

Случай 2: \(x^2+3x<0\)

Шаг 5. Условие. \[ x(x+3)<0 \iff -3<x<0. \]

Шаг 6. Неравенство случая. \[ -(x^2+3x)<x+4 \iff -x^2-3x-x-4<0 \iff -x^2-4x-4<0. \] Умножаем на \(-1\): \[ x^2+4x+4>0 \iff (x+2)^2>0. \] \[ D=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0,\qquad x=-2 \text{ (корень двойной)}. \] Квадрат положителен при всех \(x\), кроме того, где он равен нулю, то есть кроме \(x=-2\): \[ x\ne-2. \]

Шаг 7. Пересечение с условием \(-3<x<0\). Убираем из интервала \((-3;0)\) точку \(-2\): \[ (-3;-2)\cup(-2;0). \]

Шаг 8. Объединение

\[ (-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\cup(-3;-2)\cup(-2;0). \] Склейка: \((-1-\sqrt5;-3]\) и \((-3;-2)\) дают \((-1-\sqrt5;-2)\); \((-2;0)\) и \([0;-1+\sqrt5)\) дают \((-2;-1+\sqrt5)\). Точка \(-2\) не вошла ни в один из промежутков (в первом она была исключена условием \((x+2)^2>0\)), поэтому остаётся выколотой.

Ответ: \(\boxed{(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)}\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |5x-3|= \begin{cases} 5x-3, & \text{если } 5x-3\ge0;\\[2pt] -(5x-3), & \text{если } 5x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(5x-3\ge0\)

Шаг 2. Условие. \[ 5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35. \]

Шаг 3. Неравенство случая. \[ x^2-x-2<5x-3 \iff x^2-6x+1<0. \] \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot1=36-4=32,\qquad \sqrt{D}=4\sqrt2. \] \[ x_1=\frac{6-4\sqrt2}{2}=3-2\sqrt2,\qquad x_2=\frac{6+4\sqrt2}{2}=3+2\sqrt2. \] Ветви вверх, «\(<0\)» — между корнями: \[ 3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2. \] Для ориентира: \(3-2\sqrt2\approx0{,}17\), то есть меньше \(0{,}6\).

Шаг 4. Пересечение с \(x\ge\frac35\). Левая граница \(3-2\sqrt2\) меньше \(\frac35\), поэтому она отбрасывается, а \(\frac35\) входит (условие нестрогое): \[ \left[\frac35;\,3+2\sqrt2\right). \]

Случай 2: \(5x-3<0\)

Шаг 5. Условие. \[ 5x-3<0 \iff x<\frac35. \]

Шаг 6. Неравенство случая. \[ x^2-x-2<-(5x-3)=-5x+3. \] Переносим всё влево: \[ x^2-x-2+5x-3<0 \iff x^2+4x-5<0. \] \[ D=4^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36,\qquad \sqrt{D}=6. \] \[ x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-4+6}{2}=1. \] Ветви вверх, «\(<0\)» — между корнями: \[ -5<x<1. \]

Шаг 7. Пересечение с \(x<\frac35\). Так как \(\frac35<1\), обрезаем правую границу: \[ \left(-5;\frac35\right). \]

Шаг 8. Объединение

\[ \left(-5;\frac35\right)\cup\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)=\left(-5;3+2\sqrt2\right). \] Точка \(\frac35\) входит во второй промежуток, поэтому в объединении она не выкалывается — интервал сплошной.

Ответ: \(\boxed{\left(-5;3+2\sqrt2\right)}\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |x^2-3x|= \begin{cases} x^2-3x, & \text{если } x^2-3x\ge0;\\[2pt] -(x^2-3x), & \text{если } x^2-3x<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(x^2-3x\ge0\)

Шаг 2. Условие. \[ x^2-3x\ge0 \iff x(x-3)\ge0. \] Корни \(0\) и \(3\), ветви вверх, «\(\ge0\)» — вне корней: \[ x\le0 \quad\text{или}\quad x\ge3. \]

Шаг 3. Неравенство случая. \[ x^2-3x\ge x+5 \iff x^2-4x-5\ge0. \] \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36,\qquad \sqrt{D}=6. \] \[ x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{4+6}{2}=5. \] Ветви вверх, «\(\ge0\)» — вне корней, корни включены: \[ x\le-1 \quad\text{или}\quad x\ge5. \]

Шаг 4. Пересечение с \(x\le0\) или \(x\ge3\). Луч \(x\le-1\) целиком лежит в \(x\le0\); луч \(x\ge5\) целиком лежит в \(x\ge3\). Поэтому \[ (-\infty;-1]\cup[5;+\infty). \]

Случай 2: \(x^2-3x<0\)

Шаг 5. Условие. \[ x(x-3)<0 \iff 0<x<3. \]

Шаг 6. Неравенство случая. \[ -(x^2-3x)\ge x+5 \iff -x^2+3x-x-5\ge0 \iff -x^2+2x-5\ge0. \] Умножаем на \(-1\), знак меняется: \[ x^2-2x+5\le0. \] \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0. \] При \(a=1>0\) и \(D<0\) квадратный трёхчлен положителен при всех \(x\). Значит, неравенство \(x^2-2x+5\le0\) не выполняется ни при каком \(x\): решений нет.

Шаг 7. Пересечение. Пустое множество.

Шаг 8. Объединение

Второй случай ничего не добавил, поэтому остаётся только результат первого случая.

Ответ: \(\boxed{(-\infty;-1]\cup[5;+\infty)}\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |3x-1|= \begin{cases} 3x-1, & \text{если } 3x-1\ge0;\\[2pt] -(3x-1), & \text{если } 3x-1<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(3x-1\ge0\)

Шаг 2. Условие. \[ 3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13. \]

Шаг 3. Неравенство случая. \[ x(3x-1)<-2 \iff 3x^2-x+2<0. \] \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0. \] При \(a=3>0\) и \(D<0\) выражение \(3x^2-x+2\) положительно при всех \(x\). Значит, неравенство \(<0\) не выполняется нигде: решений нет.

Шаг 4. Пересечение. Пустое множество.

Случай 2: \(3x-1<0\)

Шаг 5. Условие. \[ 3x-1<0 \iff x<\frac13. \]

Шаг 6. Неравенство случая. \[ x\cdot\bigl(-(3x-1)\bigr)<-2 \iff -3x^2+x<-2 \iff -3x^2+x+2<0. \] Умножаем на \(-1\), знак меняется: \[ 3x^2-x-2>0. \] \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5. \] \[ x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac46=-\frac23,\qquad x_2=\frac{1+5}{6}=1. \] Ветви вверх, «\(>0\)» — вне корней: \[ x<-\frac23 \quad\text{или}\quad x>1. \]

Шаг 7. Пересечение с \(x<\frac13\). Условие \(x<\frac13\) отсекает луч \(x>1\), остаётся: \[ x<-\frac23. \]

Шаг 8. Объединение

Первый случай пуст, второй даёт \((-\infty;-\frac23)\).

Ответ: \(\boxed{\left(-\infty;-\frac23\right)}\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

Шаг 1. Раскрываем модуль. \[ |x-3|= \begin{cases} x-3, & \text{если } x-3\ge0;\\[2pt] -(x-3), & \text{если } x-3<0. \end{cases} \]

Случай 1: \(x-3\ge0\)

Шаг 2. Условие. \[ x-3\ge0 \iff x\ge3. \]

Шаг 3. Неравенство случая. \[ x^2+(x-3)-9<0 \iff x^2+x-12<0. \] \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49,\qquad \sqrt{D}=7. \] \[ x_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-1+7}{2}=3. \] Ветви вверх, «\(<0\)» — между корнями: \[ -4<x<3. \]

Шаг 4. Пересечение с \(x\ge3\). Интервал \(-4<x<3\) и луч \(x\ge3\) не имеют общих точек (при \(x=3\) получаем \(-4<3<3\) — неверно). Значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: \(x-3<0\)

Шаг 5. Условие. \[ x-3<0 \iff x<3. \]

Шаг 6. Неравенство случая. \[ x^2-(x-3)-9<0 \iff x^2-x+3-9<0 \iff x^2-x-6<0. \] \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5. \] \[ x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3. \] Ветви вверх, «\(<0\)» — между корнями: \[ -2<x<3. \]

Шаг 7. Пересечение с \(x<3\). Интервал \((-2;3)\) целиком лежит в \(x<3\), поэтому пересечение: \[ (-2;3). \]

Шаг 8. Объединение

Первый случай пуст, второй даёт \((-2;3)\).

Ответ: \(\boxed{(-2;3)}\).

Итоговые ответы:

\((-6;-3)\cup(-2;1)\)
\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)
\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)
\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)
\((-2;3)\)

Каждый дискриминант и корни я пересчитал заново; отдельно проверены точки склейки \(-5\), \(0\), \(\frac35\), \(-2\) в № 2 — именно они определяют, выколота граница или нет.

Аноним 13 часов назад

только в моем образце которому я тебе давал было например выражение 4 х в квадрате -5 умножить на модуль икс +1 меньше нуля и надо поставить фигурную скобку и написать икс больше или равно нулю то четыре икс в квадрате +5 икс +1 больше нуля и если икс меньше нуля то четыре икс в квадрате +5 икс +1 больше нуля примерно так надо было сделать

Аноним 13 часов назад

Нейросеть13 часов назад

Понял: в образце фигурная скобка, где сверху — условие на \(x\), а снизу — уже переписанное неравенство без модуля.

Два уточнения по твоей записи образца:

если пример был \(4x^2-5|x|+1<0\), то при \(x\ge0\) получается \(4x^2-5x+1<0\), а при \(x<0\) будет \(4x^2+5x+1<0\) — в второй строке знак перед линейным членом меняется, потому что \(|x|=-x\);
знак неравенства при раскрытии модуля не меняется, он остаётся тем же, что в условии.

Ещё важное: «\(x\ge0\) / \(x<0\)» в скобке можно писать только когда под модулем стоит ровно \(x\). У нас под модулем другие выражения, поэтому в скобку идёт условие на знак этого выражения, уже решённое до промежутков для \(x\). Дальше всё как в образце.

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

Шаг 1. Знак выражения под модулем. \[ x^2+5x=x(x+5)\ge0 \iff x\le-5 \ \text{или}\ x\ge0; \qquad x^2+5x<0 \iff -5<x<0. \]

Шаг 2. Фигурная скобка по образцу. \[ |x^2+5x|<6 \iff \begin{cases} x\le-5 \ \text{или}\ x\ge0, & x^2+5x-6<0;\\[2pt] -5<x<0, & -(x^2+5x)-6<0 \iff x^2+5x+6>0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(x^2+5x-6<0\): \[ D=25+24=49,\quad x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1, \] между корнями: \(-6<x<1\). Пересекаем с \(x\le-5\) или \(x\ge0\): \[ (-6;-5]\cup[0;1). \]

Шаг 4. Нижняя строка. \(x^2+5x+6>0\): \[ D=25-24=1,\quad x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2, \] вне корней: \(x<-3\) или \(x>-2\). Пересекаем с \(-5<x<0\): \[ (-5;-3)\cup(-2;0). \]

Шаг 5. Объединяем (точки \(-5\) и \(0\) вошли, поэтому склеиваем): \[ (-6;-3)\cup(-2;1). \]

Ответ: \(\boxed{(-6;-3)\cup(-2;1)}\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

Шаг 1. Знак под модулем. \[ x^2+3x\ge0 \iff x\le-3 \ \text{или}\ x\ge0; \qquad x^2+3x<0 \iff -3<x<0. \]

Шаг 2. Скобка. \[ |x^2+3x|<x+4 \iff \begin{cases} x\le-3 \ \text{или}\ x\ge0, & x^2+3x-x-4<0 \iff x^2+2x-4<0;\\[2pt] -3<x<0, & -(x^2+3x)-x-4<0 \iff x^2+4x+4>0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(x^2+2x-4<0\): \[ D=4+16=20,\quad x_{1,2}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{2}=-1\pm\sqrt5, \] между корнями: \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\) (это примерно от \(-3{,}24\) до \(1{,}24\)). Оба условия \(x\le-3\), \(x\ge0\) лежат внутри, поэтому: \[ (-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5). \]

Шаг 4. Нижняя строка. \(x^2+4x+4>0\): \[ D=16-16=0,\quad (x+2)^2>0 \iff x\ne-2. \] Пересекаем с \(-3<x<0\), выкалывая \(-2\): \[ (-3;-2)\cup(-2;0). \]

Шаг 5. Объединяем. Точка \(-2\) выколота в обеих частях, поэтому остаётся разрыв только в ней: \[ (-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5). \]

Ответ: \(\boxed{(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)}\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

Шаг 1. Знак под модулем. \[ 5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35; \qquad 5x-3<0 \iff x<\frac35. \]

Шаг 2. Скобка (модуль справа, поэтому переносим влево): \[ x^2-x-2<|5x-3| \iff \begin{cases} x\ge\frac35, & x^2-x-2-(5x-3)<0 \iff x^2-6x+1<0;\\[2pt] x<\frac35, & x^2-x-2+(5x-3)<0 \iff x^2+4x-5<0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(x^2-6x+1<0\): \[ D=36-4=32,\quad x_{1,2}=\frac{6\pm4\sqrt2}{2}=3\pm2\sqrt2, \] между корнями: \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\), где \(3-2\sqrt2\approx0{,}17\). Пересекаем с \(x\ge\frac35\): левая граница отбрасывается, \(\frac35\) входит: \[ \left[\frac35;3+2\sqrt2\right). \]

Шаг 4. Нижняя строка. \(x^2+4x-5<0\): \[ D=16+20=36,\quad x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-4+6}{2}=1, \] между корнями: \(-5<x<1\). Пересекаем с \(x<\frac35\): \[ \left(-5;\frac35\right). \]

Шаг 5. Объединяем. Точка \(\frac35\) есть во второй части, поэтому разрыва нет: \[ \left(-5;3+2\sqrt2\right). \]

Ответ: \(\boxed{\left(-5;3+2\sqrt2\right)}\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

Шаг 1. Знак под модулем. \[ x^2-3x\ge0 \iff x\le0 \ \text{или}\ x\ge3; \qquad x^2-3x<0 \iff 0<x<3. \]

Шаг 2. Скобка (модуль слева, раскрываем и переносим): \[ |x^2-3x|\ge x+5 \iff \begin{cases} x\le0 \ \text{или}\ x\ge3, & x^2-3x-x-5\ge0 \iff x^2-4x-5\ge0;\\[2pt] 0<x<3, & -(x^2-3x)-x-5\ge0 \iff x^2-2x+5\le0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(x^2-4x-5\ge0\): \[ D=16+20=36,\quad x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5, \] вне корней, корни включены: \(x\le-1\) или \(x\ge5\). Пересекаем с \(x\le0\) или \(x\ge3\) — оба луча целиком подходят: \[ (-\infty;-1]\cup[5;+\infty). \]

Шаг 4. Нижняя строка. \(x^2-2x+5\le0\): \[ D=4-20=-16<0. \] При \(a=1>0\) трёхчлен всегда положителен, значит решений нет.

Шаг 5. Объединение. Вторая строка пуста, остаётся первая.

Ответ: \(\boxed{(-\infty;-1]\cup[5;+\infty)}\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

Шаг 1. Знак под модулем. \[ 3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13; \qquad 3x-1<0 \iff x<\frac13. \]

Шаг 2. Скобка. \[ x|3x-1|<-2 \iff \begin{cases} x\ge\frac13, & x(3x-1)+2<0 \iff 3x^2-x+2<0;\\[2pt] x<\frac13, & x\cdot(-(3x-1))+2<0 \iff -3x^2+x+2<0 \iff 3x^2-x-2>0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(3x^2-x+2<0\): \[ D=1-24=-23<0, \] при \(a=3>0\) трёхчлен всегда положителен — решений нет.

Шаг 4. Нижняя строка. \(3x^2-x-2>0\): \[ D=1+24=25,\quad x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac23,\quad x_2=\frac{1+5}{6}=1, \] вне корней: \(x<-\frac23\) или \(x>1\). Пересекаем с \(x<\frac13\) — остаётся \(x<-\frac23\).

Шаг 5. Объединение. Верхняя строка пуста.

Ответ: \(\boxed{\left(-\infty;-\frac23\right)}\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

Шаг 1. Знак под модулем. \[ x-3\ge0 \iff x\ge3; \qquad x-3<0 \iff x<3. \]

Шаг 2. Скобка. \[ x^2+|x-3|-9<0 \iff \begin{cases} x\ge3, & x^2+x-3-9<0 \iff x^2+x-12<0;\\[2pt] x<3, & x^2-(x-3)-9<0 \iff x^2-x-6<0. \end{cases} \]

Шаг 3. Верхняя строка. \(x^2+x-12<0\): \[ D=1+48=49,\quad x_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-1+7}{2}=3, \] между корнями: \(-4<x<3\). Пересечение с \(x\ge3\) пусто (при \(x=3\) выходит \(0<0\), неверно) — решений нет.

Шаг 4. Нижняя строка. \(x^2-x-6<0\): \[ D=1+24=25,\quad x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3, \] между корнями: \(-2<x<3\). Пересечение с \(x<3\): \[ (-2;3). \]

Шаг 5. Объединение. Верхняя строка пуста, остаётся нижняя.

Ответ: \(\boxed{(-2;3)}\).

Схема оформления для любого похожего номера: 1) найти, при каких \(x\) выражение под модулем неотрицательно, а при каких отрицательно; 2) записать фигурную скобку: сверху промежуток-условие, рядом — неравенство без модуля; 3) в каждой строке \(D\), корни, интервал, затем пересечь с условием этой строки; 4) объединить строки и записать ответ. Если под модулем ровно \(|x|\), первым шагом ничего решать не нужно — сразу пишем \(x\ge0\) и \(x<0\).

Аноним 13 часов назад

Так и напиши как ты вверху написал без воды

Нейросеть13 часов назад

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

\[ |x^2+5x|<6 \iff \begin{cases} x\le-5 \text{ или } x\ge0, & x^2+5x-6<0;\\ -5<x<0, & x^2+5x+6>0. \end{cases} \]

\(D=25+24=49\), \(x_1=-6,\ x_2=1\), \(-6<x<1\).
\(\cap\) с \(x\le-5\) или \(x\ge0\): \((-6;-5]\cup[0;1)\).
\(D=25-24=1\), \(x_1=-3,\ x_2=-2\), \(x<-3\) или \(x>-2\).
\(\cap\) с \(-5<x<0\): \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

\[ |x^2+3x|<x+4 \iff \begin{cases} x\le-3 \text{ или } x\ge0, & x^2+2x-4<0;\\ -3<x<0, & x^2+4x+4>0. \end{cases} \]

\(D=4+16=20\), \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt5\), \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\).
\(\cap\) с условием: \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).
\(D=16-16=0\), \(x=-2\), \((x+2)^2>0 \iff x\ne-2\).
\(\cap\) с \(-3<x<0\): \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

\[ x^2-x-2<|5x-3| \iff \begin{cases} x\ge\frac35, & x^2-6x+1<0;\\ x<\frac35, & x^2+4x-5<0. \end{cases} \]

\(D=36-4=32\), \(x_{1,2}=3\pm2\sqrt2\), \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\).
\(\cap\) с \(x\ge\frac35\): \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).
\(D=16+20=36\), \(x_1=-5,\ x_2=1\), \(-5<x<1\).
\(\cap\) с \(x<\frac35\): \(\left(-5;\frac35\right)\).

Объединение: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ |x^2-3x|\ge x+5 \iff \begin{cases} x\le0 \text{ или } x\ge3, & x^2-4x-5\ge0;\\ 0<x<3, & x^2-2x+5\le0. \end{cases} \]

\(D=16+20=36\), \(x_1=-1,\ x_2=5\), \(x\le-1\) или \(x\ge5\).
\(\cap\) с условием: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).
\(D=4-20=-16<0\) — решений нет.

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

\[ x|3x-1|<-2 \iff \begin{cases} x\ge\frac13, & 3x^2-x+2<0;\\ x<\frac13, & 3x^2-x-2>0. \end{cases} \]

\(D=1-24=-23<0\) — решений нет.
\(D=1+24=25\), \(x_1=-\frac23,\ x_2=1\), \(x<-\frac23\) или \(x>1\).
\(\cap\) с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

\[ x^2+|x-3|-9<0 \iff \begin{cases} x\ge3, & x^2+x-12<0;\\ x<3, & x^2-x-6<0. \end{cases} \]

\(D=1+48=49\), \(x_1=-4,\ x_2=3\), \(-4<x<3\).
\(\cap\) с \(x\ge3\): пусто.
\(D=1+24=25\), \(x_1=-2,\ x_2=3\), \(-2<x<3\).
\(\cap\) с \(x<3\): \((-2;3)\).

Ответ: \((-2;3)\).

Аноним 13 часов назад

Ты не понял как я тебе объяснил смотри пишешь например если икс больше равно нулю то выражение там четыре например икс в квадрате минус 5 икс + 1 больше 0

Нейросеть13 часов назад

Вот в такой записи — с «если …, то …» внутри фигурной скобки.

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

Сначала знак под модулем: \[ x^2+5x\ge0 \iff x\le-5 \text{ или } x\ge0; \qquad x^2+5x<0 \iff -5<x<0. \]

\[ |x^2+5x|<6 \iff \begin{cases} \text{если } x\le-5 \text{ или } x\ge0,\ \text{то } x^2+5x<6;\\[2pt] \text{если } -5<x<0,\ \text{то } -(x^2+5x)<6. \end{cases} \]

\(x^2+5x-6<0\):
\(D=25+24=49\), \(x_1=-6,\ x_2=1\), значит \(-6<x<1\).
Пересечение с \(x\le-5\) или \(x\ge0\): \((-6;-5]\cup[0;1)\).
\(-(x^2+5x)<6 \iff x^2+5x+6>0\):
\(D=25-24=1\), \(x_1=-3,\ x_2=-2\), значит \(x<-3\) или \(x>-2\).
Пересечение с \(-5<x<0\): \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

\[ x^2+3x\ge0 \iff x\le-3 \text{ или } x\ge0; \qquad x^2+3x<0 \iff -3<x<0. \]

\[ |x^2+3x|<x+4 \iff \begin{cases} \text{если } x\le-3 \text{ или } x\ge0,\ \text{то } x^2+3x<x+4;\\[2pt] \text{если } -3<x<0,\ \text{то } -(x^2+3x)<x+4. \end{cases} \]

\(x^2+2x-4<0\):
\(D=4+16=20\), \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt5\), значит \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\).
Пересечение с условием: \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).
\(-x^2-3x<x+4 \iff x^2+4x+4>0\):
\(D=16-16=0\), \(x=-2\), \((x+2)^2>0 \iff x\ne-2\).
Пересечение с \(-3<x<0\): \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

\[ 5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35; \qquad 5x-3<0 \iff x<\frac35. \]

\[ x^2-x-2<|5x-3| \iff \begin{cases} \text{если } x\ge\frac35,\ \text{то } x^2-x-2<5x-3;\\[2pt] \text{если } x<\frac35,\ \text{то } x^2-x-2<-(5x-3). \end{cases} \]

\(x^2-6x+1<0\):
\(D=36-4=32\), \(x_{1,2}=3\pm2\sqrt2\), значит \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\).
Пересечение с \(x\ge\frac35\): \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).
\(x^2+4x-5<0\):
\(D=16+20=36\), \(x_1=-5,\ x_2=1\), значит \(-5<x<1\).
Пересечение с \(x<\frac35\): \(\left(-5;\frac35\right)\).

Объединение: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ x^2-3x\ge0 \iff x\le0 \text{ или } x\ge3; \qquad x^2-3x<0 \iff 0<x<3. \]

\[ |x^2-3x|\ge x+5 \iff \begin{cases} \text{если } x\le0 \text{ или } x\ge3,\ \text{то } x^2-3x\ge x+5;\\[2pt] \text{если } 0<x<3,\ \text{то } -(x^2-3x)\ge x+5. \end{cases} \]

\(x^2-4x-5\ge0\):
\(D=16+20=36\), \(x_1=-1,\ x_2=5\), значит \(x\le-1\) или \(x\ge5\).
Пересечение с условием: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).
\(-x^2+3x\ge x+5 \iff x^2-2x+5\le0\):
\(D=4-20=-16<0\) — решений нет.

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

\[ 3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13; \qquad 3x-1<0 \iff x<\frac13. \]

\[ x|3x-1|<-2 \iff \begin{cases} \text{если } x\ge\frac13,\ \text{то } x(3x-1)<-2;\\[2pt] \text{если } x<\frac13,\ \text{то } x(-(3x-1))<-2. \end{cases} \]

\(x(3x-1)<-2 \iff 3x^2-x+2<0\):
\(D=1-24=-23<0\) — решений нет.
\(x(-(3x-1))<-2 \iff -3x^2+x<-2 \iff 3x^2-x-2>0\):
\(D=1+24=25\), \(x_1=-\frac23,\ x_2=1\), значит \(x<-\frac23\) или \(x>1\).
Пересечение с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

\[ x-3\ge0 \iff x\ge3; \qquad x-3<0 \iff x<3. \]

\[ x^2+|x-3|-9<0 \iff \begin{cases} \text{если } x\ge3,\ \text{то } x^2+(x-3)-9<0;\\[2pt] \text{если } x<3,\ \text{то } x^2-(x-3)-9<0. \end{cases} \]

\(x^2+x-12<0\):
\(D=1+48=49\), \(x_1=-4,\ x_2=3\), значит \(-4<x<3\).
Пересечение с \(x\ge3\): пусто.
\(x^2-x-6<0\):
\(D=1+24=25\), \(x_1=-2,\ x_2=3\), значит \(-2<x<3\).
Пересечение с \(x<3\): \((-2;3)\).

Ответ: \((-2;3)\).

Итог:

\((-6;-3)\cup(-2;1)\)
\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)
\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)
\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)
\((-2;3)\)

Аноним 13 часов назад

Решение точно полностью правильное?

Нейросеть13 часов назад

Да. Я перепроверил все шесть номеров заново, не по прошлому ответу: через равносильные переходы \[ |u|<c \iff -c<u<c,\qquad |u|\ge v \iff u\ge v \text{ или } u\le -v \] и через разбор знаков под модулем. Все итоговые ответы совпали.

№	Ответ	Что проверено
1	\((-6;-3)\cup(-2;1)\)	\(x=0\): \(0<6\); \(x=-4\): \(4<6\); границы \(-3,-2,-6,1\) не входят
2	\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)	\(x=-2\): \(2<2\) ложно, поэтому точка выколота
3	\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)	\(x=\frac35\) входит, поэтому разрыва в \(\frac35\) нет
4	\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)	\(-1\) и \(5\) входят; во второй ветке \(D=-16<0\)
5	\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)	при \(x\ge\frac13\) дискриминант \(D=-23<0\), решений нет; \(-\frac23\) выколота
6	\((-2;3)\)	\(x=3\) даёт \(0<0\) — неверно; первый случай пуст

Все дискриминанты и корни тоже пересчитаны:

№ 1: \(D=49\) и \(D=1\);
№ 2: \(D=20\) и \(D=0\);
№ 3: \(D=32\) и \(D=36\);
№ 4: \(D=36\) и \(D=-16\);
№ 5: \(D=-23\) и \(D=25\);
№ 6: \(D=49\) и \(D=25\).

Единственный момент, который нужно не потерять при переписывании: в № 2 точка \(-2\) выкалывается из-за строгого неравенства \((x+2)^2>0\), а в № 3 точка \(\frac35\) наоборот входит в ответ. С учётом этого решение полное и правильное.

Аноним 13 часов назад

ты не расписал нахождение х 1 и х 2

Нейросеть13 часов назад

Добавляю нахождение корней по формуле \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \] с подстановкой чисел — в каждом случае, где дискриминант неотрицателен.

№ 1. \(|x^2+5x|<6\)

\(x^2+5x\ge0 \iff x\le-5\) или \(x\ge0\); \(x^2+5x<0 \iff -5<x<0\).

\[ |x^2+5x|<6 \iff \begin{cases} \text{если } x\le-5 \text{ или } x\ge0,\ \text{то } x^2+5x<6;\\ \text{если } -5<x<0,\ \text{то } -(x^2+5x)<6. \end{cases} \]

1) \(x^2+5x-6<0\), здесь \(a=1,\ b=5,\ c=-6\): \[ D=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49,\quad \sqrt{D}=7, \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{2\cdot1}=\frac{-5\pm7}{2},\qquad x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1. \] Ветви вверх, знак «\(<0\)» — между корнями: \(-6<x<1\).
\(\cap\) с \(x\le-5\) или \(x\ge0\): \((-6;-5]\cup[0;1)\).

2) \(-(x^2+5x)<6 \iff x^2+5x+6>0\), здесь \(a=1,\ b=5,\ c=6\): \[ D=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\quad \sqrt{D}=1, \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm1}{2},\qquad x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2. \] Знак «\(>0\)» — вне корней: \(x<-3\) или \(x>-2\).
\(\cap\) с \(-5<x<0\): \((-5;-3)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

Ответ: \((-6;-3)\cup(-2;1)\).

№ 2. \(|x^2+3x|<x+4\)

\(x^2+3x\ge0 \iff x\le-3\) или \(x\ge0\); \(x^2+3x<0 \iff -3<x<0\).

\[ |x^2+3x|<x+4 \iff \begin{cases} \text{если } x\le-3 \text{ или } x\ge0,\ \text{то } x^2+3x<x+4;\\ \text{если } -3<x<0,\ \text{то } -(x^2+3x)<x+4. \end{cases} \]

1) \(x^2+3x<x+4 \iff x^2+2x-4<0\), здесь \(a=1,\ b=2,\ c=-4\): \[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-4)=4+16=20,\quad \sqrt{D}=2\sqrt5, \] \[ x_{1,2}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{2\cdot1}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{2}=-1\pm\sqrt5,\qquad x_1=-1-\sqrt5,\quad x_2=-1+\sqrt5. \] Между корнями: \(-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5\) (примерно от \(-3{,}24\) до \(1{,}24\)).
\(\cap\) с \(x\le-3\) или \(x\ge0\): \((-1-\sqrt5;-3]\cup[0;-1+\sqrt5)\).

2) \(-(x^2+3x)<x+4 \iff -x^2-4x-4<0 \iff x^2+4x+4>0\), здесь \(a=1,\ b=4,\ c=4\): \[ D=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0,\quad \sqrt{D}=0, \] \[ x=\frac{-4\pm0}{2}=-2 \ \text{(корень двойной)}. \] \((x+2)^2>0 \iff x\ne-2\).
\(\cap\) с \(-3<x<0\): \((-3;-2)\cup(-2;0)\).

Объединение: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

Ответ: \((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\).

№ 3. \(x^2-x-2<|5x-3|\)

\(5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35\); \(5x-3<0 \iff x<\frac35\).

\[ x^2-x-2<|5x-3| \iff \begin{cases} \text{если } x\ge\frac35,\ \text{то } x^2-x-2<5x-3;\\ \text{если } x<\frac35,\ \text{то } x^2-x-2<-(5x-3). \end{cases} \]

1) \(x^2-x-2<5x-3 \iff x^2-6x+1<0\), здесь \(a=1,\ b=-6,\ c=1\): \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot1=36-4=32,\quad \sqrt{D}=4\sqrt2, \] \[ x_{1,2}=\frac{6\pm4\sqrt2}{2\cdot1}=\frac{6\pm4\sqrt2}{2}=3\pm2\sqrt2,\qquad x_1=3-2\sqrt2,\quad x_2=3+2\sqrt2. \] Между корнями: \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\) (\(3-2\sqrt2\approx0{,}17\), \(3+2\sqrt2\approx5{,}83\)).
\(\cap\) с \(x\ge\frac35\): так как \(3-2\sqrt2<\frac35\), левая граница отбрасывается: \(\left[\frac35;3+2\sqrt2\right)\).

2) \(x^2-x-2<-5x+3 \iff x^2+4x-5<0\), здесь \(a=1,\ b=4,\ c=-5\): \[ D=4^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36,\quad \sqrt{D}=6, \] \[ x_{1,2}=\frac{-4\pm6}{2\cdot1},\qquad x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-4+6}{2}=1. \] Между корнями: \(-5<x<1\).
\(\cap\) с \(x<\frac35\): \(\left(-5;\frac35\right)\).

Объединение: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

Ответ: \(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\).

№ 4. \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\(x^2-3x\ge0 \iff x\le0\) или \(x\ge3\); \(x^2-3x<0 \iff 0<x<3\).

\[ |x^2-3x|\ge x+5 \iff \begin{cases} \text{если } x\le0 \text{ или } x\ge3,\ \text{то } x^2-3x\ge x+5;\\ \text{если } 0<x<3,\ \text{то } -(x^2-3x)\ge x+5. \end{cases} \]

1) \(x^2-3x\ge x+5 \iff x^2-4x-5\ge0\), здесь \(a=1,\ b=-4,\ c=-5\): \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36,\quad \sqrt{D}=6, \] \[ x_{1,2}=\frac{4\pm6}{2\cdot1},\qquad x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5. \] Вне корней, корни включены: \(x\le-1\) или \(x\ge5\).
\(\cap\) с \(x\le0\) или \(x\ge3\): \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

2) \(-x^2+3x\ge x+5 \iff -x^2+2x-5\ge0 \iff x^2-2x+5\le0\), здесь \(a=1,\ b=-2,\ c=5\): \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0. \] При \(a=1>0\) трёхчлен положителен при всех \(x\) — решений нет.

Ответ: \((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\).

№ 5. \(x|3x-1|<-2\)

\(3x-1\ge0 \iff x\ge\frac13\); \(3x-1<0 \iff x<\frac13\).

\[ x|3x-1|<-2 \iff \begin{cases} \text{если } x\ge\frac13,\ \text{то } x(3x-1)<-2;\\ \text{если } x<\frac13,\ \text{то } x(-(3x-1))<-2. \end{cases} \]

1) \(x(3x-1)<-2 \iff 3x^2-x+2<0\), здесь \(a=3,\ b=-1,\ c=2\): \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0. \] При \(a=3>0\) трёхчлен положителен при всех \(x\) — решений нет.

2) \(x(-(3x-1))<-2 \iff -3x^2+x+2<0 \iff 3x^2-x-2>0\), здесь \(a=3,\ b=-1,\ c=-2\): \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5, \] \[ x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2\cdot3}=\frac{1\pm5}{6},\qquad x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac46=-\frac23,\quad x_2=\frac{1+5}{6}=\frac66=1. \] Вне корней: \(x<-\frac23\) или \(x>1\).
\(\cap\) с \(x<\frac13\): \(x<-\frac23\).

Ответ: \(\left(-\infty;-\frac23\right)\).

№ 6. \(x^2+|x-3|-9<0\)

\(x-3\ge0 \iff x\ge3\); \(x-3<0 \iff x<3\).

\[ x^2+|x-3|-9<0 \iff \begin{cases} \text{если } x\ge3,\ \text{то } x^2+(x-3)-9<0;\\ \text{если } x<3,\ \text{то } x^2-(x-3)-9<0. \end{cases} \]

1) \(x^2+x-12<0\), здесь \(a=1,\ b=1,\ c=-12\): \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49,\quad \sqrt{D}=7, \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm7}{2\cdot1},\qquad x_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-1+7}{2}=3. \] Между корнями: \(-4<x<3\).
\(\cap\) с \(x\ge3\): пусто.

2) \(x^2-x+3-9<0 \iff x^2-x-6<0\), здесь \(a=1,\ b=-1,\ c=-6\): \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5, \] \[ x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2\cdot1},\qquad x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3. \] Между корнями: \(-2<x<3\).
\(\cap\) с \(x<3\): \((-2;3)\).

Ответ: \((-2;3)\).

Итог:

\((-6;-3)\cup(-2;1)\)
\((-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)\)
\(\left(-5;3+2\sqrt2\right)\)
\((-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\)
\(\left(-\infty;-\frac23\right)\)
\((-2;3)\)