56 Плоскости α и β параллельны, A — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Краткий ответ. Да, любая такая прямая лежит в плоскости \(\alpha\). Докажем это, «поймав» её во вспомогательной плоскости.

Доказательство.

Пусть \(l\) — произвольная прямая, проходящая через \(A\) и параллельная плоскости \(\beta\). Тогда \(l\) не имеет общих точек с \(\beta\).

1. Возьмём точку \(B\in\beta\). Через прямую \(l\) и точку \(B\) проведём плоскость \(\gamma\).
   Она не совпадает ни с \(\alpha\), ни с \(\beta\), поэтому: \[ s=\gamma\cap\beta,\qquad t=\gamma\cap\alpha \] — прямые. Причём \(A\in t\).

2. Прямые \(l\) и \(s\) лежат в плоскости \(\gamma\). Если бы они пересекались, их общая точка принадлежала бы и \(l\), и \(\beta\), что невозможно. Значит, \[ l\parallel s. \]

3. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а \(\gamma\) пересекает обе. По свойству параллельных плоскостей линии пересечения параллельны: \[ t\parallel s. \]

4. Итак, \(l\) и \(t\) лежат в одной плоскости \(\gamma\), проходят через точку \(A\) и обе параллельны \(s\). Через точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, \[ l=t. \] Но \(t\subset\alpha\), поэтому \(l\subset\alpha\).

Так как \(l\) была выбрана произвольно, утверждение доказано.

Что важно понять: в подобных задачах помогает вспомогательная плоскость: две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым.