Многочлен — это сумма одночленов. Например, \(3x^2-5x+7\) — многочлен, а его члены — это \(3x^2\), \(-5x\) и \(7\).

• Одночлен — произведение числа и степеней переменных: \(5a^2b\), \(-4x^3\), \(7\).
• Стандартный вид многочлена — когда все его члены записаны как одночлены стандартного вида и подобных членов нет.
• Степень одночлена — сумма показателей всех его переменных. Например, у \(xy^2\) степень \(1+2=3\).
• Степень многочлена — наибольшая степень его членов после приведения к стандартному виду.
• Свободный член, например \(7\) или \(-1\), имеет степень \(0\).

Задание 584

Нужно переставлять члены по возрастанию степеней, то есть от меньшего показателя переменной к большему. Знаки перед членами сохраняем.

а) \(17a^4-8a^5+3a-a^3-1\)

Степени членов: \(4,\ 5,\ 1,\ 3,\ 0\).
По возрастанию:

\[ -1+3a-a^3+17a^4-8a^5 \]

б) \(35c^6+5c^2-c^4\)

Степени: \(6,\ 2,\ 4\).
По возрастанию:

\[ 5c^2-c^4+35c^6 \]

в) \(2y+y^3-y^2+1\)

Степени: \(1,\ 3,\ 2,\ 0\).
По возрастанию:

\[ 1+2y-y^2+y^3 \]

г) \(4x+x^3-5x^2+x^4\)

Степени: \(1,\ 3,\ 2,\ 4\).
По возрастанию:

\[ 4x-5x^2+x^3+x^4 \]

---

Задание 585

Здесь нужно найти наибольшую степень среди членов многочлена.

а) \(4a^6-2a^7+a-1\)

Степени: \(6,\ 7,\ 1,\ 0\).
Наибольшая степень:

\[ 7 \]

б) \(5p^3-p-2\)

Степени: \(3,\ 1,\ 0\).
Ответ:

\[ 3 \]

в) \(1-3x\)

Степени: \(0,\ 1\).
Ответ:

\[ 1 \]

г) \(8x^4+5x^2-11\)

Степени: \(4,\ 2,\ 0\).
Ответ:

\[ 4 \]

д) \(4xy+xy^2-5x^2+y\)

Считаем степени членов:

• \(4xy\): \(1+1=2\);
• \(xy^2\): \(1+2=3\);
• \(-5x^2\): \(2\);
• \(y\): \(1\).

Наибольшая степень:

\[ 3 \]

е) \(xy+yz+x-1\)

• \(xy\): степень \(2\);
• \(yz\): степень \(2\);
• \(x\): степень \(1\);
• \(-1\): степень \(0\).

Ответ:

\[ 2 \]

Итог по 585: а) \(7\); б) \(3\); в) \(1\); г) \(4\); д) \(3\); е) \(2\).

Понимаю, тут легко запутаться: в № 584 и № 585 делают разные вещи. В 584 надо только переставить члены, а в 585 — только найти самую большую степень.

1. Что такое степень одночлена

Степень — это сколько букв перемножено в одночлене.

\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a \] здесь 4 буквы \(a\), значит степень \(4\).

\[ 3a=a^1 \] здесь одна буква, степень \(1\).

\[ -1 \] просто число, его степень считают равной \(0\).

Если букв несколько, показатели складываются:

\[ xy^2=x\cdot y\cdot y \] две \(y\) и одна \(x\), всего \(1+2=3\). Значит, степень \(xy^2\) равна \(3\).

Число перед буквами, например \(17\) в \(17a^4\), на степень не влияет.

---

2. Задание 584: переставить члены по возрастанию степеней

Разберём пример а):

\[ 17a^4-8a^5+3a-a^3-1 \]

Подпишем степень каждого члена:

• \(17a^4\) — степень \(4\);
• \(-8a^5\) — степень \(5\);
• \(3a\) — степень \(1\);
• \(-a^3\) — степень \(3\);
• \(-1\) — степень \(0\).

Теперь ставим от меньшей степени к большей:

\[ 0,\ 1,\ 3,\ 4,\ 5 \]

Получаем:

\[ -1+3a-a^3+17a^4-8a^5 \]

Важно: минус перед членом переносится вместе с этим членом. Поэтому было \(-a^3\), так и остаётся \(-a^3\).

Остальные ответы:

б)
\[ 35c^6+5c^2-c^4 \] Степени: \(6,\ 2,\ 4\). По возрастанию:

\[ 5c^2-c^4+35c^6 \]

в)
\[ 2y+y^3-y^2+1 \] Степени: \(1,\ 3,\ 2,\ 0\). По возрастанию:

\[ 1+2y-y^2+y^3 \]

г)
\[ 4x+x^3-5x^2+x^4 \] Степени: \(1,\ 3,\ 2,\ 4\). По возрастанию:

\[ 4x-5x^2+x^3+x^4 \]

---

3. Задание 585: найти наибольшую степень

Здесь ничего переставлять не нужно. Надо посмотреть на все члены и выбрать самый большой показатель.

Например, в пункте а):

\[ 4a^6-2a^7+a-1 \]

Степени членов:

\[ 6,\ 7,\ 1,\ 0 \]

Самая большая — \(7\). Поэтому ответ: \(7\).

В пункте д):

\[ 4xy+xy^2-5x^2+y \]

Считаем степени:

• \(4xy\): \(x\) и \(y\), всего \(1+1=2\);
• \(xy^2\): \(x\) и две \(y\), всего \(1+2=3\);
• \(-5x^2\): степень \(2\);
• \(y\): степень \(1\).

Наибольшая степень — \(3\). Ответ: \(3\).

Итоговые ответы к 585:

а) \(7\)
б) \(3\)
в) \(1\)
г) \(4\)
д) \(3\)
е) \(2\)

---

Если снова непонятно, скажи только одно: где именно застрял — в том, как считать степень, или в том, как переставлять члены. Разберу только этот шаг.

Понял: степени здесь ни при чём, и мой второй вариант решения неверный. Извини за путаницу.

Чтобы исправить точно, а не угадывать, пришли, пожалуйста, фото страницы с заданиями 584 и 585 или перепиши их условия. По одним номерам я не могу надёжно понять, какие именно примеры в твоём учебнике.

Разберу по порядку: сначала знаки (без них многочлены не решаются), потом одночлены, потом многочлены и стандартный вид, а в конце — лайфхаки и маленький тренажёр для проверки.

---

1. Положительные и отрицательные числа

Модуль — это «размер числа без знака»

Модуль \(|a|\) — расстояние от числа до нуля. Расстояние не бывает отрицательным.

\[ |7|=7,\qquad |-7|=7,\qquad |0|=0 \]

Модуль нужен, чтобы понимать, кто «сильнее»: у \(-9\) модуль \(9\), у \(2\) модуль \(2\). Значит, \(-9\) дальше от нуля, оно «сильнее».

Сложение

Случай 1. Знаки одинаковые. Складываем модули, знак оставляем тот же.

\[ (-7)+(-4)=-11,\qquad 5+9=14 \]

Случай 2. Знаки разные. Из большего модуля вычитаем меньший, а знак ставим того числа, у которого модуль больше.

\[ 9+(-14)=-5 \] (модули \(9\) и \(14\); \(14-9=5\); «сильнее» минус, значит ответ отрицательный)

\[ -3+8=5 \] (\(8-3=5\); «сильнее» плюс, ответ \(5\))

Лайфхак: представляй деньги. Минус — долг, плюс — то, что есть в кармане. Было \(8\), отдала \(3\) — осталось \(5\). Было \(9\), а должна \(14\) — осталась должна \(5\), то есть \(-5\).

Вычитание

Главное правило: вычитание — это прибавление противоположного числа.

\[ a-b=a+(-b) \]

Отсюда самое частое: два минуса подряд дают плюс.

\[ 5-(-8)=5+8=13 \] \[ -2-(-9)=-2+9=7 \] \[ -6-4=-6+(-4)=-10 \]

Почему так: «убрать долг в 8 рублей» — значит стать богаче на 8.

Умножение и деление

Таблица знаков одна на оба действия:

• плюс на плюс → плюс: \(6\cdot 4=24\);
• минус на минус → плюс: \((-6)\cdot(-4)=24\);
• минус на плюс → минус: \((-6)\cdot 4=-24\);
• плюс на минус → минус: \(6\cdot(-4)=-24\).

То же с делением: \[ (-24):(-6)=4,\qquad 24:(-6)=-4 \]

Лайфхак «друг и враг»: друг моего друга — друг (+), враг моего врага — друг (+), друг моего врага — враг (−), враг моего друга — враг (−).

Важно: количество минусов решает. Минусов чётное число — результат положительный, нечётное — отрицательный.

\[ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1 \]

Скобки и минус перед ними

\[ -(a-b)=-a+b \]

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри. Это главная причина ошибок в многочленах.

---

2. Одночлен

Одночлен — произведение чисел и степеней переменных: \(7\), \(-5x\), \(3x^2y\), \(a\).

У одночлена есть коэффициент (число) и буквенная часть:

\[ -5x^3y^2 \quad\Rightarrow\quad \text{коэффициент } -5,\ \text{буквенная часть } x^3y^2 \]

Если числа не видно, коэффициент \(1\) или \(-1\): \(x=1x\), \(-x=-1x\).

Стандартный вид одночлена

Это когда:

1. на первом месте число (коэффициент);
2. каждая переменная встречается один раз;
3. буквы записаны в алфавитном порядке.

Как приводить: перемножаем числа, а у одинаковых букв складываем показатели.

\[ 3a\cdot(-4a^2b)\cdot 2b=(3\cdot(-4)\cdot 2)\cdot a^{1+2}\cdot b^{1+1}=-24a^3b^2 \]

Степень одночлена

Сумма показателей всех переменных.

\[ -24a^3b^2 \Rightarrow 3+2=5 \]

Число без букв (например, \(7\)) имеет степень \(0\).

---

3. Многочлен и стандартный вид

Многочлен — сумма одночленов. Эти одночлены называются его членами.

\[ 4x^3-2x^2+7x-1 \]

Здесь четыре члена: \(4x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), \(-1\). Последний (без букв) называют свободным членом.

Что значит «привести многочлен к стандартному виду»

Два условия:

1. каждый член записан в стандартном виде;
2. подобных членов нет — они сложены.

Подобные члены — с одинаковой буквенной частью. Отличаться они могут только коэффициентом.

\[ 5x^2y \ \text{и}\ -8x^2y \quad\text{подобны} \] \[ 5x^2y \ \text{и}\ 5xy^2 \quad\text{НЕ подобны (разные степени)} \] \[ 3x^2 \ \text{и}\ 3x^3 \quad\text{НЕ подобны} \]

Приведение подобных: складываем коэффициенты, буквенную часть не трогаем.

\[ 5x^2y-8x^2y=(5-8)x^2y=-3x^2y \]

Пример целиком:

\[ 7x^2-3x+5-4x^2+9x-12 \]

Группируем:

\[ (7x^2-4x^2)+(-3x+9x)+(5-12)=3x^2+6x-7 \]

Степень многочлена

Это наибольшая из степеней его членов (после приведения подобных).

\[ 3x^2y^3-4xy+7 \Rightarrow 5,\ 2,\ 0 \Rightarrow \text{степень } 5 \]

Если всё в порядке, многочлен записывают по убыванию степеней — так удобнее и считать, и читать.

---

4. Действия с многочленами

Сложение и вычитание

Раскрываем скобки, потом приводим подобные. Если перед скобкой минус — меняем знаки всех членов в скобках.

\[ 5m-(2m-3n)+(m+n)=5m-2m+3n+m+n=4m+4n \]

Умножение на одночлен

Каждый член многочлена умножаем на этот одночлен.

\[ 3x(2x-5)=6x^2-15x \]

Умножение многочлена на многочлен

Каждый член первого умножаем на каждый член второго. Если в первом \(m\) членов, а во втором \(n\), получится \(mn\) произведений — потом приводим подобные.

\[ (x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6 \]

---

5. Лайфхаки

1. Проверка подстановкой. Подставь любое удобное число, например \(x=1\), в исходное и в полученное выражение. Если тождество верное, результаты совпадут. В примере \((x+2)(x-3)\) при \(x=1\): слева \(3\cdot(-2)=-6\), справа \(1-1-6=-6\). Совпало.

2. Подчёркивай подобные разными линиями или цветами: \(x^2\) одной линией, \(x\) другой, числа третьей. Не путаются.

3. Пиши по убыванию степеней — так видно, где какой член, и меньше шансов потерять слагаемое.

4. Ставь знак вместе с членом. Переносишь \(-a^3\) — переноси минус тоже. Минус «приклеен» к своему члену.

5. Минус перед скобкой — сначала поставь все знаки наоборот, только потом считай. Не пытайся делать два дела сразу.

6. Проверяй степени при умножении: показатели складываются, а не умножаются. \(x^2\cdot x^3=x^5\).

7. Не сокращай лишнее. \(x^2+x\neq x^3\): это сумма, а не произведение. Складывать можно только подобные.

8. Считай количество минусов — чётное даёт плюс.

Типичные ошибки: забыть поменять знак у всех членов в скобках; перепутать \(x^2\) и \(x\); сложить не подобные члены; потерять коэффициент \(1\).

---

6. Мини-тренажёр (реши сама, ответы ниже)

1. Приведи к стандартному виду: \(-2a\cdot 5ab^2\cdot(-3b)\)
2. Приведи подобные: \(7x^2-3x+5-4x^2+9x-12\)
3. Раскрой скобки: \(5m-(2m-3n)+(m+n)\)
4. Найди степень многочлена: \(3x^2y^3-4xy+7\)
5. Умножь: \((x+2)(x-3)\)

Ответы: 1) \(30a^2b^3\); 2) \(3x^2+6x-7\); 3) \(4m+4n\); 4) \(5\); 5) \(x^2-x-6\).

Если хочешь, пришли своё решение любого пункта — проверю и покажу, где именно сбой: в знаках, в подобных членах или в степенях.

Отлично, давай проверим, что получилось. Вот тест без ответов. Реши на листочке, а потом пришли номера и ответы. Если сомневаешься — ставь рядом «?», проверю ход.

Тест: знаки и многочлены

1. Вычисли: а) \(-7+12\) б) \(5-(-9)\) в) \(-6-4\) г) \((-3)\cdot(-8)\) д) \(-24:(-6)\)

2. Раскрой скобки: а) \(-(2a-3b)\) б) \(5a-(2a-3b)+(a+b)\)

3. Приведи одночлен к стандартному виду: \[ 3a\cdot(-4a^2b)\cdot2b \]

4. Приведи подобные слагаемые: \[ 7x^2-3x+5-4x^2+9x-12 \]

5. Приведи многочлен к стандартному виду: \[ 5a^2-2a+3a^2-7a+1 \]

6. Раскрой скобки и приведи подобные: \[ 4m-(2m-3n)+(m+n) \]

7. Умножь одночлен на многочлен: \[ 3x(2x-5) \]

8. Умножь многочлены: \[ (x+2)(x-3) \]

9. Найди значение выражения: \[ 3x^2-4x+1 \] при \(x=2\).

10. Бонус: запиши многочлен \[ 4x+x^3-5x^2+x^4 \] по убыванию показателей.

Присылай в таком виде:
1) а) … б) …; 2) …; 3) … и так далее. Я проверю и скажу, где именно ошибка — в знаках, в подобных членах или в умножении.

Проверил. Основные ошибки — в знаках, в раскрытии скобок и в попытке сложить члены, которые не являются подобными. Разбираю по номерам.

1. Знаки

а) У тебя \(-7+12=-19\). Неверно: \[ -7+12=5 \] Из \(12\) вычитаем \(7\), получаем \(5\); знак плюс, потому что \(12\) по модулю больше.

б) \(5-(-9)=5+9=14\) — верно.

в) У тебя \(-6-4=-12\). Неверно: \[ -6-4=-10 \] Это два отрицательных числа: \(6+4=10\), знак минус.

г) \((-3)\cdot(-8)=24\) — верно.

д) Минус на минус при делении даёт плюс: \[ -24:(-6)=4 \] Если у тебя записано \(-4\), там ошибка в знаке.

---

2. Раскрытие скобок

а) У тебя: \[ -(2a-3b)=(2a+3b)=5ab \] Это дважды неверно.

Правильно: \[ -(2a-3b)=-2a+3b \] Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого внутри: \(2a\) стало \(-2a\), а \(-3b\) стало \(+3b\).

Кроме того, \(2a\) и \(3b\) нельзя складывать: у них разные буквы. Поэтому ответ остаётся \(-2a+3b\), а не \(5ab\).

б) У тебя запутались знаки. Правильно: \[ 5a-(2a-3b)+(a+b)=5a-2a+3b+a+b=4a+4b \] То есть \(5a-2a+a=4a\), а \(3b+b=4b\).

---

3. Умножение одночленов

У тебя ошибка в коэффициенте и степенях. Правильно: \[ 3a\cdot(-4a^2b)\cdot2b = (3\cdot(-4)\cdot2)\cdot a^1\cdot a^2\cdot b\cdot b = -24a^3b^2 \] То есть коэффициент: \[ 3\cdot(-4)\cdot2=-24 \] а показатели при одинаковых буквах складываются: \[ a^1\cdot a^2=a^3,\qquad b^1\cdot b^1=b^2 \]

---

4. Приведение подобных

Ты начала группировать, но потеряла минус у \(3x\) и не дописала ответ.

Правильно: \[ 7x^2-3x+5-4x^2+9x-12 \] \[ =(7x^2-4x^2)+(-3x+9x)+(5-12) \] \[ =3x^2+6x-7 \] Обрати внимание: в скобке должно быть именно \(-3x+9x\), а не \(3x+9x\).

---

5. Здесь главная ошибка

Правильно: \[ 5a^2-2a+3a^2-7a+1=8a^2-9a+1 \] Потому что: \[ 5a^2+3a^2=8a^2 \] У тебя \(3a^2\) превратилось в \(-3a^2\), как будто ты перенесла его через знак равенства. Но это не уравнение, а выражение: знаки членов просто переставляются вместе с ними.

И ещё: \(2a^2\) и \(10a\) нельзя сложить в \(12a^3\): \[ 2a^2+10a\ne12a^3 \] Это разные степени, значит и не подобные члены.

---

6. Снова знак перед скобкой

Правильно: \[ 4m-(2m-3n)+(m+n) \] \[ =4m-2m+3n+m+n \] \[ =3m+4n \] То есть: \[ 4m-2m+m=3m,\qquad 3n+n=4n \]

У тебя появилось \(5mn\), но \(m\) и \(n\) — разные буквы, их нельзя складывать, и \(mn\) здесь не получается.

---

7. Умножение одночлена на многочлен

Правильно: \[ 3x(2x-5)=3x\cdot2x+3x\cdot(-5) \] \[ =6x^2-15x \] Ты, похоже, сложила \(3x+2x\). Но здесь не сложение, а умножение: одночлен \(3x\) умножается на каждый член в скобках.

---

8. Умножение двух скобок

Правильно: \[ (x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6 \] \[ =x^2-x-6 \] У тебя получилось только \(-x\), то есть ты сложила \(-3x+2x\), но потеряла \(x^2\) и \(-6\).

Порядок такой: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй.

---

9. Ты не закончила

При \(x=2\): \[ 3x^2-4x+1=3\cdot2^2-4\cdot2+1 \] \[ =3\cdot4-8+1=12-8+1=5 \]

Ответ: \(5\).

---

10. Тоже не закончено

Нужно записать по убыванию показателей: \[ 4x+x^3-5x^2+x^4 \] Порядок степеней: \(4,\ 3,\ 2,\ 1\). Поэтому: \[ x^4+x^3-5x^2+4x \]

---

Итог: исправить нужно пункты 1а, 1в, 1д, 2а, 2б, 3, 4, 5, 6, 7, 8; пункты 9 и 10 просто доделать. Пришли исправленное — проверю.

Нет, не «ничего»: 1б и 1г у тебя верны, а в 4-м ты почти правильно сгруппировала — просто потеряла минус у \(3x\). Ошибки однотипные, а значит, лечатся одним правилом.

Давай сделаем так: возьмём только минус перед скобкой и отработаем на трёх крошечных примерах. Выпиши их и раскрой скобки:

1. \(-(a-5)\)
2. \(-(2x+3)\)
3. \(7-(x-2)\)

Правило одно: минус перед скобкой меняет знак у каждого члена внутри.

Реши эти три — пришлю проверку, и сразу станет видно, щёлкнуло или нет. Дальше пойдём по одному правилу за раз, а не по всему тесту.

Почти: во втором примере ты сделала половину дела. Разберу каждый — увидишь, что ошибка одна и та же.

1. \(-(a-5)\)

Правильно: \[ -(a-5)=-a+5 \]

У тебя \(a+5\). Ты поменяла знак у \(-5\) (стало \(+5\)), а у \(a\) — нет.

Хитрость в том, что у \(a\) знак невидимый: \(a=+a\). Минус перед скобкой меняет и его тоже: \(+a\) превращается в \(-a\).

Проверка числом. Пусть \(a=10\): \[ -(10-5)=-5 \] А твой ответ \(a+5=15\). Не совпало, значит ответ неверный.

2. \(-(2x+3)\)

Правильно: \[ -(2x+3)=-2x-3 \]

У тебя \(2x-3\). Ты поменяла знак у \(3\), но забыла про \(2x\). Это уже лучше — один шаг из двух сделан. Нужно поменять знак у каждого члена, а их здесь два.

3. \(7-(x-2)\)

Правильно: \[ 7-(x-2)=7-x+2=9-x \]

У тебя \(7+(x+2)=9x\). Здесь две ошибки:

• \(x\) внутри скобки должен был стать \(-x\), а ты оставила плюс;
• \(9x\) получиться не может: \(9\) и \(x\) — не подобные члены. \(9-x\) так и остаётся, «сжать» это нельзя.

Проверка числом. Пусть \(x=3\): \[ 7-(3-2)=7-1=6 \] \[ 9-x=9-3=6 \] Совпало. А \(9x=27\) — нет.

---

Главное правило

Минус перед скобкой — это «каждому жителю скобки меняем табличку». Даже если таблички не видно, там стоит плюс.

\[ -(a-b)=-a+b \]

Алгоритм на каждое задание:

1. Посмотри на знак перед скобкой.
2. Если там минус — мысленно поставь минус каждому члену внутри, даже первому.
3. Спиши без скобок.
4. Только теперь приводи подобные.

И всегда проверяй подстановкой: взяла число поудобнее, подставила в исходник и в свой ответ. Совпало — верно.

---

Тренажёр

Реши эти четыре, и пришли ответы:

1. \(-(x-7)\)
2. \(-(3a+4)\)
3. \(5-(2x-1)\)
4. \(8-(y+3)\)

Не спеши: в каждом сначала назови, сколько членов в скобке, и поменяй знак у каждого. Потом проверь одно из них подстановкой.