Плоскости α и β параллельны, A — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Пусть \(l\) — любая такая прямая. В плоскости \(\beta\) возьмём прямую \(b\parallel l\). Через \(l\) и \(b\) проведём плоскость \(\gamma\); пусть \(\gamma\cap\alpha=c\). Тогда \(A\in c\). Прямые \(c\subset\alpha\) и \(b\subset\beta\) не пересекаются, значит, \(c\parallel b\). Но \(l\) также проходит через \(A\) и \(l\parallel b\), а в плоскости \(\gamma\) такая прямая единственна. Следовательно, \(l=c\subset\alpha\).