Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Краткий ответ. Да, такой треугольник равнобедренный: \(AB=AC\).

Почему это так

Пусть \(AM\) — медиана и одновременно высота треугольника \(ABC\), точка \(M\) лежит на \(BC\).

1. Раз \(AM\) — медиана, то \(BM=MC\).
2. Раз \(AM\) — высота, то \(AM\perp BC\), поэтому \(\angle AMB=\angle AMC=90^\circ\).
3. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(ACM\). У них:
   • \(BM=MC\);
   • \(AM\) — общая сторона;
   • углы между этими сторонами прямые и равны.

Значит, \(\triangle ABM=\triangle ACM\) по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому \(AB=AC\).

Проверка. Медиана делит основание пополам, а высота образует прямой угол. Вместе это означает, что \(AM\) — серединный перпендикуляр к \(BC\). Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, значит точка \(A\) равноудалена от \(B\) и \(C\): \(AB=AC\). Треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).