187. Постройте график функции, заданной формулой y = −8/x. Найдите по графику: а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; −1; −2,5;

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а) }& y(4)=-2,\quad y(2{,}5)=-3{,}2,\quad y(1{,}5)=-5\frac{1}{3},\\ & y(-1)=8,\quad y(-2{,}5)=3{,}2;\\ \text{б) }& y=8 \Rightarrow x=-1,\qquad y=-2 \Rightarrow x=4. \end{aligned} \]

Как это понять и проверить

Дана функция

\[ y=-\frac{8}{x}. \]

Её удобно записать так:

\[ xy=-8. \]

То есть произведение координат любой точки графика должно быть равно \(-8\).

Для пункта а) подставляем значения \(x\):

\[ y(4)=-\frac{8}{4}=-2, \] \[ y(2{,}5)=-\frac{8}{2{,}5}=-3{,}2, \] \[ y(1{,}5)=-\frac{8}{1{,}5}=-\frac{16}{3}=-5\frac{1}{3}, \] \[ y(-1)=-\frac{8}{-1}=8, \] \[ y(-2{,}5)=-\frac{8}{-2{,}5}=3{,}2. \]

Для пункта б) решаем уравнения:

\[ 8=-\frac{8}{x} \Rightarrow x=-1, \]

\[ -2=-\frac{8}{x} \Rightarrow x=4. \]

Как построить график

Это гипербола. Так как коэффициент отрицательный, ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: график к ним приближается, но не пересекает их.

Удобные точки для построения:

Остаётся отметить эти точки и провести через них две плавные ветви. Ветви нельзя соединять через начало координат.

Проверка: например, для точки \((2{,}5;-3{,}2)\)

\[ 2{,}5\cdot(-3{,}2)=-8, \]

значит точка действительно принадлежит графику.