9.10. Постройте график функции: а) y = (x + 2)²; б) y = x² − 3; в) y = (x − 1)² − 2/3; г) y = −1/3 x² + 4.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
9.10. Постройте график функции: а) \(y=(x+2)^2\); в) \(y=(x-1)^2-\frac{2}{3}\); б) \(y=x^2-3\); г) \(y=-\frac{1}{3}x^2+4\).
Краткий ответ. Все четыре графика — параболы, которые получаются из «базовой» \(y=x^2\) сдвигами и растяжением:
| Пункт | Функция | Вершина | Ветви | Как из \(y=x^2\) |
|---|---|---|---|---|
| а | \(y=(x+2)^2\) | \((-2;0)\) | вверх | влево на 2 |
| б | \(y=x^2-3\) | \((0;-3)\) | вверх | вниз на 3 |
| в | \(y=(x-1)^2-\frac23\) | \((1;-\frac23)\) | вверх | вправо на 1, вниз на \(\frac23\) |
| г | \(y=-\frac13x^2+4\) | \((0;4)\) | вниз | вверх на 4, парабола шире |
Почему так. Если функция записана в виде
\[ y=(x-h)^2+k, \]
то её график — парабола \(y=x^2\), сдвинутая на \(h\) вправо и на \(k\) вверх. Вершина находится в точке \((h;k)\), ось симметрии — прямая \(x=h\).
- В пункте а) \(x+2=x-(-2)\), поэтому \(h=-2\): сдвиг влево на 2.
- В пункте б) \(k=-3\): сдвиг вниз на 3.
- В пункте в) \(h=1\), \(k=-\frac23\).
- В пункте г) функция имеет вид \(y=ax^2+k\), где \(a=-\frac13\). Так как \(a<0\), ветви направлены вниз; \(|a|<1\), поэтому парабола шире \(y=x^2\).
Точки для построения:
- а) \((-4;4)\), \((-3;1)\), \((-2;0)\), \((-1;1)\), \((0;4)\);
- б) \((-2;1)\), \((-1;-2)\), \((0;-3)\), \((1;-2)\), \((2;1)\);
- в) \((-1;\frac{10}{3})\), \((0;\frac13)\), \((1;-\frac23)\), \((2;\frac13)\), \((3;\frac{10}{3})\);
- г) \((-6;-8)\), \((-3;1)\), \((0;4)\), \((3;1)\), \((6;-8)\).
Отметь вершину и эти симметричные точки, затем проведи плавную кривую — получится нужная парабола.
Проверка. Если раскрыть скобки, вершину можно проверить по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\):
- а) \(y=x^2+4x+4\), \(x_0=-2\);
- б) \(y=x^2-3\), \(x_0=0\);
- в) \(y=x^2-2x+\frac13\), \(x_0=1\);
- г) \(y=-\frac13x^2+4\), \(x_0=0\).
Значения \(y\) в этих точках совпадают с таблицей.
Алгоритм для похожего задания: определи вид функции → найди вершину → возьми по 2–3 точки слева и справа от вершины → соедини их плавной симметричной кривой.
Обсуждение
6 сообщенийТаблицу для графиков
Таблицы значений для каждого графика. Точки беру симметрично относительно вершины — тогда видно, что парабола симметрична.
а) \(y=(x+2)^2\), вершина \((-2;0)\)
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
б) \(y=x^2-3\), вершина \((0;-3)\)
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-2\) | \(1\) |
в) \(y=(x-1)^2-\frac{2}{3}\), вершина \((1;-\frac{2}{3})\)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(\frac{10}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(-\frac{2}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{10}{3}\) |
Для удобства на клетчатой бумаге: \(\frac{10}{3}\approx 3{,}33\), \(\frac{1}{3}\approx 0{,}33\), \(-\frac{2}{3}\approx -0{,}67\).
г) \(y=-\frac{1}{3}x^2+4\), вершина \((0;4)\), ветви вниз
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-8\) | \(1\) | \(4\) | \(1\) | \(-8\) |
Если нужны более частые точки для г), добавь \(x=-4;-2;2;4\):
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-\frac{4}{3}\) | \(\frac{8}{3}\) | \(\frac{8}{3}\) | \(-\frac{4}{3}\) |
Как заполнять такую таблицу самому: выбираешь 4–6 значений \(x\) (обязательно вершину и по 2 значения слева и справа на равном расстоянии), подставляешь каждое в формулу и считаешь \(y\). Пары из столбцов и есть координаты точек, которые остаётся соединить плавной линией.
Под б) у = х⁷/²-3
Уточню запись — и сразу дам таблицу для более вероятного варианта.
Ты написал \(y=x^{7/2}-3\). Если это буквально так, то это не парабола: степень \(3{,}5\), функция определена только при \(x\ge 0\). Скорее всего, в учебнике \(y=\dfrac{x^{2}}{2}-3\) (дробь \(\frac{x^2}{2}\), а не \(x^{7/2}\)). Ниже — таблица для этого варианта.
б) \(y=\dfrac{x^{2}}{2}-3\), вершина \((0;-3)\), ветви вверх, парабола шире \(y=x^2\)
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(5\) | \(1{,}5\) | \(-1\) | \(-2{,}5\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-1\) | \(1{,}5\) | \(5\) |
Минимальный набор для построения — 5 точек:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1\) | \(-2{,}5\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-1\) |
Проверка: \(x=2\): \(\frac{4}{2}-3=2-3=-1\); \(x=0\): \(0-3=-3\) — сходится с вершиной \((0;-3)\). Сдвиг по сравнению с \(y=x^2\): вниз на 3 и «растянуто» по горизонтали в \(\sqrt2\) раза, поэтому при \(x=2\) значение \(-1\), а не \(1\).
Если же там действительно \(y=x^{7/2}-3\), скажи — тогда таблица такая (\(x\ge0\)):
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-3\) | \(-2\) | \(2\sqrt{2}-3\approx-0{,}17\) | \(125\) |
Но такая функция в теме «парабола» не встречается — подтверди, какой именно вариант в задании.
Смотри внимательно на примеры
Ты прав: я неверно прочитал показатели. В задании не квадраты, а дробные степени, поэтому это не параболы. Исправляю.
а) \(y=(x+2)^{1/2}\)
\[ y=\sqrt{x+2} \]
Область определения: \(x\ge -2\), значения \(y\ge0\). График — верхняя ветвь параболы \(x=y^2-2\) с началом в точке \((-2;0)\). Функция возрастает.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(7\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt2\approx1{,}41\) | \(2\) | \(3\) |
Можно добавить точку \(x=14\), тогда \(y=4\).
б) \(y=x^{7/2}-3\)
\[ y=x^3\sqrt{x}-3 \]
Область определения: \(x\ge0\); значения \(y\ge-3\). При \(x=0\) имеем \(y=-3\). Функция возрастает, при \(x>1\) график идёт круче \(y=x^3\).
| \(x\) | \(0\) | \(\frac14\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-3\) | \(-\frac{383}{128}\approx-2{,}99\) | \(-2\) | \(8\sqrt2-3\approx8{,}31\) | \(125\) |
График быстро уходит вверх, поэтому масштаб по оси \(y\) выбирай крупнее.
в) \(y=(x-1)^{-2/3}\)
\[ y=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} \]
Область определения: \(x\ne1\); \(y>0\). Прямые \(x=1\) и \(y=0\) — асимптоты. График симметричен относительно \(x=1\) и состоит из двух ветвей, уходящих вверх около вертикальной асимптоты.
| \(x\) | \(-7\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(0{,}875\) | \(1\) | \(1{,}125\) | \(2\) | \(9\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0{,}25\) | \(1\) | \(2^{2/3}\approx1{,}59\) | \(4\) | — | \(4\) | \(1\) | \(0{,}25\) |
г) \(y=x^{-1/3}+4\)
\[ y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+4 \]
Область определения: \(x\ne0\). Асимптоты: \(x=0\) и \(y=4\). Левая ветвь лежит ниже прямой \(y=4\), правая — выше.
| \(x\) | \(-8\) | \(-1\) | \(-\frac18\) | \(0\) | \(\frac18\) | \(1\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3{,}5\) | \(3\) | \(2\) | — | \(6\) | \(5\) | \(4{,}5\) |
Как строить: отмечаешь точки из таблицы и соединяешь плавной линией. В пунктах в) и г) не пересекай асимптоты и не соединяй ветви через них.
