149. Выполните действия:
Реши номер 149
Сверь числа и знаки с фото.
- Выполните действия: а) \(\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot \frac{1+x}{2x-1}\); б) \(\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right)\); в) \(\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}\); г) \(\frac{x-2}{x-3}\cdot\left(x+\frac{x}{2-x}\right)\).
Ответ:
- а) \(\frac{2x+1}{2x-1}\), при \(x\ne -1,\ \frac12\);
- б) \(-\frac{5y}{y+1}\), при \(y\ne -1,\ 0,\ 1\);
- в) \(-a\), при \(a\ne -2,\ 2\);
- г) \(x\), при \(x\ne 2,\ 3\).
Что важно понять. Сначала выполняем действие в скобках: приводим дроби к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на обратную дробь. Затем раскладываем на множители и сокращаем. Полезно помнить, что \(b-a=-(a-b)\).
а) Приводим скобку к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+(x+1)}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}. \] Тогда \[ \left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1} =\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1} =\frac{2x+1}{2x-1}. \] Здесь \(1+x=x+1\), поэтому множитель \(x+1\) сокращается.
б) Сначала упрощаем скобку: \[ 1-\frac{1}{1-y} =\frac{1-y-1}{1-y} =\frac{-y}{1-y}. \] Получаем: \[ \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right) =\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y} =-\frac{5y}{1+y}. \]
в) Упрощаем скобку: \[ \frac{4a}{2-a}-a =\frac{4a-a(2-a)}{2-a} =\frac{4a-2a+a^2}{2-a} =\frac{a^2+2a}{2-a} =\frac{a(a+2)}{2-a}. \] Так как \(2-a=-(a-2)\), то \[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2} =\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} =-a. \]
г) Сначала упрощаем скобку: \[ x+\frac{x}{2-x} =\frac{x(2-x)+x}{2-x} =\frac{2x-x^2+x}{2-x} =\frac{3x-x^2}{2-x} =\frac{x(3-x)}{2-x}. \] Теперь умножаем: \[ \frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(3-x)}{2-x} =\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(3-x)}{-(x-2)} =-\frac{x(3-x)}{x-3}=x. \] Последнее равенство следует из \(3-x=-(x-3)\).
Я проверил подстановкой: например, в пункте г) при \(x=4\) исходное выражение равно \(4\), и ответ \(x\) тоже даёт \(4\).
Обсуждение
4 сообщенияПодробнее объясни пример в
Разберём пример в) по шагам. Исходное выражение:
\[ \left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}. \]
Сначала найдём ограничения: \(a\ne 2\) и \(a\ne -2\), потому что на ноль делить нельзя.
1. Упрощаем выражение в скобках
Представим \(a\) как дробь со знаменателем \(2-a\):
\[ a=\frac{a(2-a)}{2-a}. \]
Тогда
\[ \frac{4a}{2-a}-a = \frac{4a}{2-a}-\frac{a(2-a)}{2-a}. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{4a-a(2-a)}{2-a}. \]
Раскрываем скобки в числителе:
\[ 4a-a(2-a)=4a-2a+a^2=a^2+2a. \]
Значит,
\[ \frac{a^2+2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a}. \]
То есть скобка равна
\[ \frac{a(a+2)}{2-a}. \]
2. Выполняем деление
Делить на дробь — значит умножать на обратную дробь:
\[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}. \]
Так как \(a\ne -2\), множитель \(a+2\) можно сократить:
\[ \frac{a(a-2)}{2-a}. \]
3. Учитываем знак
Заметим, что
\[ 2-a=-(a-2). \]
Поэтому
\[ \frac{a(a-2)}{2-a} = \frac{a(a-2)}{-(a-2)} =-a. \]
Так как \(a\ne 2\), на \(a-2\) сокращать можно.
Ответ:
\[ \boxed{-a} \]
Проверка: пусть \(a=3\). Тогда исходное выражение равно
\[ \left(\frac{12}{-1}-3\right):\frac{5}{1} =(-12-3):5 =-15:5=-3, \]
а \(-a=-3\). Всё сходится.
Объясни подробнее пример г
Ответ: \(x\), при \(x\ne 2\) и \(x\ne 3\).
Разберём пример г) подробно:
\[ \left(x+\frac{x}{2-x}\right)\cdot\frac{x-2}{x-3}. \]
1. Ограничения
На ноль делить нельзя, поэтому:
- \(2-x\ne 0\), значит \(x\ne 2\);
- \(x-3\ne 0\), значит \(x\ne 3\).
При этих значениях выражение не имеет смысла.
2. Упрощаем скобку
Представим \(x\) как дробь со знаменателем \(2-x\):
\[ x=\frac{x(2-x)}{2-x}. \]
Тогда
\[ x+\frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x}+\frac{x}{2-x}. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{x(2-x)+x}{2-x}. \]
Раскрываем скобки в числителе:
\[ x(2-x)+x=2x-x^2+x=3x-x^2. \]
Вынесем \(x\) за скобки:
\[ 3x-x^2=x(3-x). \]
Значит,
\[ x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}. \]
3. Умножаем на вторую дробь
Получаем:
\[ \frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3}. \]
Теперь используем важное равенство:
\[ 2-x=-(x-2). \]
То есть знаменатель первой дроби и числитель второй дроби отличаются только знаком. Запишем:
\[ \frac{x(3-x)}{-(x-2)}\cdot\frac{x-2}{x-3}. \]
Так как \(x\ne 2\), можно сократить \(x-2\):
\[ -\frac{x(3-x)}{x-3}. \]
4. Учитываем ещё один знак
Заметим, что
\[ 3-x=-(x-3). \]
Подставляем:
\[ -\frac{x\cdot\bigl(-(x-3)\bigr)}{x-3}. \]
Минус на минус даёт плюс:
\[ \frac{x(x-3)}{x-3}. \]
Так как \(x\ne 3\), сокращаем \(x-3\):
\[ x. \]
Проверка
Возьмём \(x=4\). Тогда
\[ x+\frac{x}{2-x}=4+\frac{4}{2-4}=4+\frac{4}{-2}=4-2=2. \]
Вторая дробь:
\[ \frac{x-2}{x-3}=\frac{4-2}{4-3}=2. \]
Произведение:
\[ 2\cdot 2=4. \]
А ответ \(x\) при \(x=4\) тоже даёт \(4\). Значит, всё верно.
\[ \boxed{x} \]
