Реши область определения функции y=3/5-x²

Считаю, что функция такая:

\[ y=\frac{3}{5-x^2} \]

если \(5-x^2\) стоит в знаменателе.

1. Область определения — школьный способ

Знаменатель не должен равняться нулю:

\[ 5-x^2\ne 0. \]

Разложим:

\[ 5-x^2=(\sqrt5-x)(\sqrt5+x)\ne0. \]

Значит,

\[ x\ne \sqrt5,\qquad x\ne -\sqrt5. \]

Отмечаем эти две точки на числовой прямой выколотыми. Все остальные \(x\) допустимы:

\[ D(y)=(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty). \]

То есть:

\[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-\sqrt5;\sqrt5\}. \]

2. Построение графика

График — три отдельные ветви.

• Вертикальные асимптоты: \[ x=-\sqrt5\approx -2{,}24,\qquad x=\sqrt5\approx 2{,}24. \]

• Горизонтальная асимптота: \[ y=0. \]

• Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).

• Точка пересечения с осью \(Oy\): \[ y(0)=\frac35=0{,}6, \] то есть точка \((0;0{,}6)\).

Таблица значений для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -3 & -2{,}5 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 2{,}5 & 3\\ \hline y & -0{,}75 & -2{,}4 & 3 & 0{,}75 & 0{,}6 & 0{,}75 & 3 & -2{,}4 & -0{,}75 \end{array} \]

Как идут ветви

1. При \(x<-\sqrt5\) график ниже оси \(Ox\): уходит вниз к \(-\infty\) около левой асимптоты, а при \(x\to-\infty\) приближается к \(y=0\) снизу.

2. При \[ -\sqrt5<x<\sqrt5 \] график выше оси \(Ox\): около обеих асимптот уходит в \(+\infty\), а в точке \((0;0{,}6)\) имеет самую низкую точку. Эта ветвь похожа на «чашу» \(\cup\).

3. При \(x>\sqrt5\) график снова ниже оси \(Ox\): около правой асимптоты уходит в \(-\infty\), а при \(x\to+\infty\) приближается к \(y=0\) снизу.

Итог: область определения

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty)} \]

или

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R\setminus\{-\sqrt5;\sqrt5\}}. \]

Если же у тебя записано \(y=\frac35-x^2\), то это другая функция: её область определения \(\mathbb R\), а график — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;0{,}6)\).

Понял, оформляю как у вас в тетради.

\[ y=\frac{3}{5-x^2} \]

\[ 5-x^2\ne0 \]

\[ x^2\ne5 \]

\[ x\ne-\sqrt5,\qquad x\ne\sqrt5 \]

\[ \boxed{\text{О.О.: }x\ne-\sqrt5,\quad x\ne\sqrt5} \]

Или короче:

\[ \boxed{\text{О.О.: }x\ne\pm\sqrt5} \]

Если нужна запись промежутками:

\[ D(y)=(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty) \]

На числовой прямой точки \(-\sqrt5\approx-2{,}24\) и \(\sqrt5\approx2{,}24\) выколоты; остальные \(x\) входят в область определения.

График

График состоит из трёх ветвей. Для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -3 & -2{,}5 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 2{,}5 & 3\\ \hline y & -0{,}75 & -2{,}4 & 3 & 0{,}75 & 0{,}6 & 0{,}75 & 3 & -2{,}4 & -0{,}75 \end{array} \]

Что отметить:

• вертикальные асимптоты: \[ x=-\sqrt5,\qquad x=\sqrt5; \]

• горизонтальная асимптота: \[ y=0; \]

• точка пересечения с осью \(Oy\): \[ (0;0{,}6); \]

• график симметричен относительно оси \(Oy\).

Ветви:

1. При \(x<-\sqrt5\) график ниже оси \(Ox\) и уходит вниз около \(x=-\sqrt5\).
2. При \(-\sqrt5<x<\sqrt5\) график выше оси \(Ox\), самая низкая точка — \((0;0{,}6)\).
3. При \(x>\sqrt5\) график снова ниже оси \(Ox\) и уходит вниз около \(x=\sqrt5\).

«\(x\le 6\)» в классной работе не могло появиться из нашей функции — это ограничение из другого условия. Обычно так бывает, когда:

• есть корень: \(\sqrt{6-x}\), тогда нужно \(6-x\ge0\), то есть \(x\le6\);
• есть логарифм: \(\log(6-x)\), тогда \(6-x>0\), то есть \(x<6\).

У нас в примере ограничение другое — знаменатель не равен нулю:

\[ 5-x^2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\pm\sqrt5. \]

Поэтому «\(\le\)» здесь взяться не может: у нас не подкоренное выражение, а деление на ноль. В виде неравенств, «как в классной работе», наша область определения записывается так:

\[ x<-\sqrt5 \quad\text{или}\quad -\sqrt5<x<\sqrt5 \quad\text{или}\quad x>\sqrt5. \]

Или совсем коротко:

\[ |x|\ne\sqrt5. \]

Пришли, пожалуйста, фото или само условие из классной работы — тогда я точно скажу, откуда там взялось \(x\le6\), и запишу твой пример ровно по тому же образцу.