138. Мотоциклист едет первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость мотоцикла на всём пути.

Краткий ответ

Средняя скорость мотоцикла на всём пути:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{2\cdot 90\cdot 70}{90+70} = 78{,}75\ \text{км/ч} \]

Почему не \( (90+70)/2 \)

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \]

Половины пути равны, а вот времена на них разные: где скорость меньше, там времени больше. Поэтому «простое среднее» скоростей завышает результат.

Шаги решения

Пусть половина пути равна \(s\) км. Тогда весь путь \(2s\).

1. Время на первой половине:

\[ t_1 = \frac{s}{90} \]

2. Время на второй половине:

\[ t_2 = \frac{s}{70} \]

3. Общее время:

\[ t = \frac{s}{90} + \frac{s}{70} = s\left(\frac{1}{90}+\frac{1}{70}\right) = s\cdot\frac{70+90}{6300} = \frac{16s}{630} \]

4. Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{2s}{\frac{16s}{630}} = \frac{2s\cdot 630}{16s} = \frac{1260}{16} = 78{,}75\ \text{км/ч} \]

Проверка

Возьмём конкретный путь: половина \(630\) км, весь путь \(1260\) км.

• первая половина: \(630 : 90 = 7\) ч;
• вторая половина: \(630 : 70 = 9\) ч;
• всего \(16\) ч.

\[ v_{\text{ср}} = \frac{1260}{16} = 78{,}75\ \text{км/ч} \]

Совпало — значит, ответ верный.

Вывод: при равных участках пути средняя скорость считается по формуле средней гармонической \(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), а не как полусумма.