В пенале лежат 5 ручек и 12 карандашей. Отметьте истинное высказывание.

Ответ: вариант 3 — «Шесть наугад взятых предметов могут быть одного типа».

В пенале \(5\) ручек и \(12\) карандашей, всего \(17\) предметов. Разбираем каждый вариант, проверяя «худший случай»:

1. «Среди любых 5 предметов обязательно будет хотя бы один карандаш» — неверно. Ручек ровно \(5\), значит можно вытащить все пять ручек, и карандаша среди них не будет.
2. «Первый взятый предмет будет карандашом» — неверно. Вероятность этого \(\frac{12}{17}\), но она меньше \(1\), то есть гарантии нет.
3. «Шесть предметов могут быть одного типа» — верно. Карандашей \(12\), а нужно всего \(6\), поэтому шесть карандашей взять можно (ручек на шесть не хватило бы, но это и не требуется — важно, что такой случай возможен).
4. «Из 9 предметов карандашей будет больше» — неверно. В худшем случае в девятку попали все \(5\) ручек, тогда карандашей \(9-5=4\), а ручек \(5\) — карандашей меньше, а не больше.

Главный принцип. Для утверждений со словом «обязательно» проверяй самый неудобный вариант: можно ли собрать набор, который опровергает фразу. Если да — высказывание ложно. А для слова «могут» достаточно показать хотя бы один подходящий набор: здесь это \(6\) карандашей.

Проверка. В варианте 4 минимум карандашей в девятке равен \(9-5=4\), и \(4<5\), значит «карандашей больше» не выполняется. Все четыре варианта разобраны согласованно, верным остаётся только третий.