Найди промежуток, удовлетворяющий неравенству.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Найди промежуток, удовлетворяющий неравенству.
\[ \frac{x-24{,}9}{x-2}>0. \]
(Выбери подходящее графическое изображение ответа и внеси числа, которые должны быть на числовой прямой, в порядке возрастания. Вводи целое число или десятичную дробь.)
Числовая прямая:
[Рисунок: пустое прямоугольное поле для изображения числовой прямой.]
Числа, ограничивающие расстояние между точками: ___ ; ___.
Краткий ответ: \[ x\in(-\infty;\,2)\cup(24{,}9;\,+\infty). \]
На числовой прямой нужны две выколотые точки: \(2\) и \(24{,}9\); штриховка — левее \(2\) и правее \(24{,}9\). В поля по возрастанию впиши: 2 и 24,9 (если поле требует точку — \(24.9\)).
Почему так:
Нуль числителя:
\[ x-24{,}9=0 \quad\Rightarrow\quad x=24{,}9. \] При этом значении дробь равна \(0\), а нужна строгая положительность, поэтому точка не включается.Нуль знаменателя:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2. \] На \(x=2\) выражение не существует, поэтому точка тоже выколотая.Эти точки делят прямую на три промежутка. Проверяем знак дроби:
- при \(x<2\): числитель и знаменатель отрицательны, значит дробь положительна;
- при \(2<x<24{,}9\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит дробь отрицательна;
- при \(x>24{,}9\): оба положительны, значит дробь положительна.
Нужен знак \(>0\), поэтому выбираем первый и третий промежутки: \[ (-\infty;\,2)\cup(24{,}9;\,+\infty). \]
Проверка: при \(x=0\) дробь положительна, при \(x=10\) отрицательна, при \(x=30\) снова положительна — всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияА если знак будет нестрогим?
Краткий ответ для \(\ge 0\): \[ x\in(-\infty;\,2)\cup[24{,}9;\,+\infty). \]
Что меняется по сравнению со строгим случаем:
Нуль числителя \(x=24{,}9\) теперь подходит: при нём дробь равна \(0\), а \(0\ge 0\) — верно. Поэтому эта точка становится закрашенной, а скобка у \(24{,}9\) — квадратной: \([24{,}9;\,+\infty)\).
Нуль знаменателя \(x=2\) по-прежнему не входит: при \(x=2\) выражение не существует (деление на ноль), а это ограничение (ОДЗ) не зависит от знака неравенства. Точка \(2\) остаётся выколотой, скобка у неё круглая.
На числовой прямой: \(2\) — выколотая, \(24{,}9\) — закрашенная; штриховка левее \(2\) и правее \(24{,}9\).
Правило, которое стоит запомнить:
- нули знаменателя не включаются никогда;
- нули числителя включаются тогда и только тогда, когда неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)).
Для сравнения, если бы знак был \(\le 0\), то: \[ x\in(2;\,24{,}9], \] то есть \(2\) выколотая, \(24{,}9\) закрашенная — включён именно нуль числителя.
Проверка: при \(x=24{,}9\) дробь равна \(0\), и \(0\ge 0\) — подходит; при \(x=2\) выражение не определено, поэтому точка не входит.
