Задача · 9 класс Задача №3791304
А
А
166 Сравните числа: а) C₅² и C₅³; б) C₇² и C₇⁵; в) C₇³ и C₇⁴
Запрос пользователя
Реши номер 166
Сверь числа и знаки с фото.
166 Сравните числа: а) \(C_{5}^{2}\) и \(C_{5}^{3}\); б) \(C_{7}^{2}\) и \(C_{7}^{5}\); в) \(C_{7}^{3}\) и \(C_{7}^{4}\); г)* \(C_{11}^{8}\) и \(C_{11}^{6}\); д)* \(C_{12}^{6}\) и \(C_{12}^{5}\); е)* \(C_{8}^{7}\) и \(C_{8}^{8}\).
Ответ: а) \(=\); б) \(=\); в) \(=\); г) \(<\); д) \(>\); е) \(>\).
Обозначение \(C_n^k\) — число сочетаний. Здесь помогают два свойства: \[ C_n^k=C_n^{\,n-k},\qquad \frac{C_n^{k+1}}{C_n^k}=\frac{n-k}{k+1}. \]
- а) \(C_5^2=C_5^{5-2}=C_5^3\) — числа равны.
- б) \(C_7^2=C_7^{7-2}=C_7^5\) — числа равны.
- в) \(C_7^3=C_7^{7-3}=C_7^4\) — числа равны.
- г) \(C_{11}^8=C_{11}^3\). Для \(n=11\) наибольшие значения при \(k=5\) и \(k=6\), поэтому \(C_{11}^3<C_{11}^6\). Значит, \(C_{11}^8<C_{11}^6\).
- д) \(\frac{C_{12}^6}{C_{12}^5}=\frac{12-5}{6}=\frac76>1\), поэтому \(C_{12}^6>C_{12}^5\).
- е) \(C_8^7=C_8^1=8\), а \(C_8^8=1\), поэтому \(C_8^7>C_8^8\).
Проверка по значениям: \(C_5^2=10,\ C_5^3=10;\ C_7^2=21,\ C_7^5=21;\ C_7^3=35,\ C_7^4=35;\ C_{11}^8=165,\ C_{11}^6=462;\ C_{12}^6=924,\ C_{12}^5=792;\ C_8^7=8,\ C_8^8=1\). Все сравнения подтверждаются.
