1. Постройте график функции y = x² − 6x + 5. Найдите с помощью графика:

Краткий ответ

1. График \(y=x^2-6x+5\) — парабола ветвями вверх, вершина \((3;-4)\), нули функции \(x=1\) и \(x=5\).
   а) \(y=2{,}25\);
   б) \(x=3-\sqrt3\approx1{,}27\) и \(x=3+\sqrt3\approx4{,}73\);
   в) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(1;5)\);
   г) функция возрастает на \([3;+\infty)\).

2. Наименьшее значение \(y=x^2-8x+7\) равно \(-9\).

3. Области определения:
   а) все действительные \(x\);
   б) \(x\ne0\);
   в) \(x\ge3\);
   г) \(x\ne-4\).

---

1. Функция \(y=x^2-6x+5\)

Вершина параболы:

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3, \] \[ y_0=3^2-6\cdot3+5=-4. \]

Значит, вершина — точка \((3;-4)\).

Нули функции — это решения уравнения \(y=0\):

\[ x^2-6x+5=0, \] \[ (x-1)(x-5)=0, \]

поэтому \(x=1\) и \(x=5\).

Для построения графика можно взять точки:

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(5\)	\(0\)	\(-3\)	\(-4\)	\(-3\)	\(0\)	\(5\)

Парабола симметрична относительно прямой \(x=3\).

а) Значение \(y\) при \(x=0{,}5\)

\[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]

Ответ: \(2{,}25\).

б) Значения \(x\), при которых \(y=-1\)

Решаем:

\[ x^2-6x+5=-1, \] \[ x^2-6x+6=0. \]

\[ D=36-24=12, \] \[ x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3. \]

То есть \(x\approx1{,}27\) или \(x\approx4{,}73\). На графике это две точки пересечения параболы с горизонтальной прямой \(y=-1\).

в) Нули и знаки функции

Нули: \(x=1\) и \(x=5\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому:

• \(y>0\) вне промежутка между корнями: \[ x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty); \]
• \(y<0\) между корнями: \[ x\in(1;5). \]

г) Промежуток возрастания

Вершина является самой нижней точкой. Слева от \(x=3\) функция убывает, справа — возрастает:

\[ [3;+\infty). \]

---

2. Наименьшее значение \(y=x^2-8x+7\)

Выделим квадрат:

\[ y=x^2-8x+7=(x^2-8x+16)-9=(x-4)^2-9. \]

Квадрат \((x-4)^2\) неотрицателен, поэтому наименьшее значение равно \(-9\). Оно достигается при \(x=4\).

---

3. Области определения

а) \(g(x)=10-x^2\)

Это многочлен, ограничений нет:

\[ D(g)=\mathbb R=(-\infty;+\infty). \]

б) \(f(x)=-\frac{42}{x}\)

Нельзя делить на ноль, поэтому \(x\ne0\):

\[ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

в) \(\varphi(x)=\sqrt{x-3}\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x-3\ge0, \] \[ x\ge3. \]

Значит:

\[ D(\varphi)=[3;+\infty). \]

г) \(y=\frac{12}{x+4}\)

Знаменатель не равен нулю:

\[ x+4\ne0, \] \[ x\ne-4. \]

\[ D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty). \]