2.29. Жалпы түрдегі ax²+bx+c=0 теңдеуімен салыстырып, берілген теңдеулердің a, b және c коэффициенттерінің шамасын жазыңдар. Дискриминантты табыңдар және түбірлердің санын

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
2.29. Жалпы түрдегі $ax^2+bx+c=0$ теңдеуімен салыстырып, берілген теңдеулердің $a$, $b$ және $c$ коэффициенттерінің шамасын жазыңдар. Дискриминантты табыңдар және түбірлердің санын көрсетіңдер.

1. $x^2-5x+6=0$; 2) $x^2-5x+4=0$; 3) $2x^2+x-3=0$; 4) $3x^2-2x-1=0$; 5) $3x^2-13x+14=0$; 6) $5x^2-9x-2=0$; 7) $y^2-y-20=0$; 8) $16x^2-8x+1=0$.
Теңдеулердің түбірлерін табыңдар (2.30–2.31):
2.30. 3) $m^2+m-90=0$;
2.31. 1) $3x^2+32x+80=0$.

Answer

Краткий ответ. В № 2.29 дискриминанты по пунктам 1)–8) равны $1, 9, 25, 16, 1, 121, 81, 0$: в первых семи уравнениях по два корня, в восьмом — один. В № 2.30 п. 3) $m_1=9,\ m_2=-10$; в № 2.31 п. 1) $x_1=-4,\ x_2=-\frac{20}{3}$.

На фото отмечены № 2.29, № 2.30 п. 3) и № 2.31 п. 1), поэтому разбираю их.

Почему так. Квадратное уравнение приводим к виду $ax^2+bx+c=0$, где $a$ — число перед $x^2$, $b$ — перед $x$, $c$ — свободный член. Знаки минус у $b$ и $c$ обязательно сохраняем. Дискриминант:
$$
D=b^2-4ac.
$$
Если $D>0$, корней два; если $D=0$, корень один (два совпадающих); если $D<0$, действительных корней нет. Сами корни при $D\ge 0$:
$$
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.
$$

№ 2.29.

№ |
Уравнение |
$a$ |
$b$ |
$c$ |
$D=b^2-4ac$ |
Корней |

1 |
$x^2-5x+6=0$ |
$1$ |
$-5$ |
$6$ |
$25-24=1$ |
2 |

2 |
$x^2-5x+4=0$ |
$1$ |
$-5$ |
$4$ |
$25-16=9$ |
2 |

3 |
$2x^2+x-3=0$ |
$2$ |
$1$ |
$-3$ |
$1+24=25$ |
2 |

4 |
$3x^2-2x-1=0$ |
$3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$4+12=16$ |
2 |

5 |
$3x^2-13x+14=0$ |
$3$ |
$-13$ |
$14$ |
$169-168=1$ |
2 |

6 |
$5x^2-9x-2=0$ |
$5$ |
$-9$ |
$-2$ |
$81+40=121$ |
2 |

7 |
$y^2-y-20=0$ |
$1$ |
$-1$ |
$-20$ |
$1+80=81$ |
2 |

8 |
$16x^2-8x+1=0$ |
$16$ |
$-8$ |
$1$ |
$64-64=0$ |
1 |

В 7) переменная $y$, но коэффициенты определяются так же. В 8) $D=0$, поэтому корень один: $x=\frac{8}{32}=\frac14$.

№ 2.30, п. 3).
$$
m^2+m-90=0,\quad a=1,\ b=1,\ c=-90.
$$
$$
D=1^2-4\cdot1\cdot(-90)=1+360=361.
$$
$$
m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{361}}{2}=\frac{-1\pm19}{2}.
$$
$$
m_1=\frac{18}{2}=9,\qquad m_2=\frac{-20}{2}=-10.
$$

№ 2.31, п. 1).
$$
3x^2+32x+80=0,\quad a=3,\ b=32,\ c=80.
$$
$$
D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64.
$$
$$
x_{1,2}=\frac{-32\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{-32\pm8}{6}.
$$
$$
x_1=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3}.
$$

Проверка. $m^2+m-90=(m-9)(m+10)$, а $3x^2+32x+80=(3x+20)(x+4)$. Суммы и произведения корней совпадают с коэффициентами: для $m$ это $-1$ и $-90$, для $x$ — $-\frac{32}{3}$ и $\frac{80}{3}$.

№	Уравнение	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(D=b^2-4ac\)	Корней
1	\(x^2-5x+6=0\)	\(1\)	\(-5\)	\(6\)	\(25-24=1\)	2
2	\(x^2-5x+4=0\)	\(1\)	\(-5\)	\(4\)	\(25-16=9\)	2
3	\(2x^2+x-3=0\)	\(2\)	\(1\)	\(-3\)	\(1+24=25\)	2
4	\(3x^2-2x-1=0\)	\(3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(4+12=16\)	2
5	\(3x^2-13x+14=0\)	\(3\)	\(-13\)	\(14\)	\(169-168=1\)	2
6	\(5x^2-9x-2=0\)	\(5\)	\(-9\)	\(-2\)	\(81+40=121\)	2
7	\(y^2-y-20=0\)	\(1\)	\(-1\)	\(-20\)	\(1+80=81\)	2
8	\(16x^2-8x+1=0\)	\(16\)	\(-8\)	\(1\)	\(64-64=0\)	1