ревносильные уравнения. как их решать? на примере 1 задания в 208 номере
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение:
- \(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0\);
Краткий ответ: \(x=-1\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \frac{A}{B}=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} A=0,\\ B\neq 0. \end{cases} \]
Это и есть равносильный переход: мы не просто «отбрасываем знаменатель», а сразу учитываем ограничение.
Рассмотрим уравнение 208(1):
\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0. \]
ОДЗ. Знаменатель не должен обращаться в нуль: \[ x^2-2x+1=(x-1)^2\neq0, \] значит, \[ x\neq1. \]
Нули числителя. \[ x^2-1=(x-1)(x+1)=0, \] откуда \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-1. \]
Отбор корней. Значение \(x=1\) запрещено условием \(x\neq1\): при нём знаменатель равен нулю. Остаётся только \[ x=-1. \]
Проверка: \[ \frac{(-1)^2-1}{(-1)^2-2(-1)+1} = \frac{1-1}{1+2+1} = \frac{0}{4}=0. \] Всё верно.
Главное: при решении дробно-рациональных уравнений нельзя забывать про ОДЗ. Если просто приравнять числитель к нулю, появится «лишний» корень \(x=1\), который не подходит.
Обсуждение
2 сообщенияВот этот пример но тут нет ОДЗ
Ты прав: слова «ОДЗ» на этой странице нет. Но сама проверка, которую делает учебник, — это и есть учёт ОДЗ, только записанный иначе.
Кратко: ОДЗ здесь — \(x\neq 1\) и \(x\neq 3\). Учебник не выписывает его заранее, а находит корни числителя и проверяет, не обращают ли они знаменатель в нуль. Результат тот же.
Разберём пример 1:
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2-4x+3}=0. \]
Разложим знаменатель:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Значит, знаменатель равен нулю при \(x=1\) и \(x=3\). Поэтому допустимые значения:
\[ x\neq 1,\qquad x\neq 3. \]
Это и есть ОДЗ, даже если оно не названо.
Теперь числитель:
\[ (x-1)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \ \text{или}\ x=-1. \]
Проверяем кандидатов:
- при \(x=1\) знаменатель равен \(1-4+3=0\) — не подходит;
- при \(x=-1\) знаменатель равен \(1+4+3=8\neq0\) — подходит.
Ответ: \(-1\).
Алгоритм из учебника:
- решить \(A=0\);
- проверить, какие корни удовлетворяют \(B\neq0\);
- подходящие корни записать в ответ.
Это равносильно тому, что мы сначала нашли ОДЗ, а потом отобрали корни. Просто порядок действий другой.
В номере 208(1) было то же самое:
\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0,\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2. \]
Знаменатель запрещает \(x=1\); корни числителя \(1\) и \(-1\); после отбора остаётся \(-1\). Так что предыдущее решение не противоречит учебнику — это тот же способ, только с явно выписанным ОДЗ.
Если учитель требует оформлять именно через ОДЗ, пиши условие \(B\neq0\) отдельной строкой. Если нет — можно, как в учебнике, проверить найденные корни подстановкой.
