реши 151 а
Сверь числа и знаки с фото.
- Выполните действия:
a) \(\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \cdot \left( \frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} \right)\);
Краткий ответ: \(6\) при \(a\ne -3\) и \(a\ne 3\).
Решение по шагам
Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель:
\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ (6a+1)(a+3)=6a^2+19a+3 \]
\[ (6a-1)(a-3)=6a^2-19a+3 \]
Складываем:
\[ 6a^2+19a+3+6a^2-19a+3=12a^2+6=6(2a^2+1) \]
Кроме того,
\[ (a-3)(a+3)=a^2-9 \]
Значит,
\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} \]
Теперь подставляем это в исходное выражение:
\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot \frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6 \]
Множители \(a^2-9\) и \(2a^2+1\) сокращаются.
Проверка: возьмём \(a=0\):
\[ \frac{-9}{1}\left(\frac{1}{-3}+\frac{-1}{3}\right) = (-9)\left(-\frac{2}{3}\right)=6 \]
Важно: \(a\ne 3\) и \(a\ne -3\), иначе исходные дробные выражения не имеют смысла.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни более подробно
Разберём подробно. Исходное выражение:
\[ \frac{a^{2}-9}{2a^{2}+1}\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) \]
1. Сначала найдём допустимые значения \(a\)
Нельзя делить на нуль, поэтому:
\[ a-3\ne 0,\qquad a+3\ne 0 \]
Значит,
\[ a\ne 3,\qquad a\ne -3 \]
Ещё есть знаменатель \(2a^{2}+1\). Но так как \(a^{2}\ge 0\), то
\[ 2a^{2}+1\ge 1>0 \]
поэтому он никогда не равен нулю при действительных \(a\).
Итак, выражение имеет смысл при
\[ a\ne 3,\quad a\ne -3 \]
2. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю
Заметим, что
\[ a^{2}-9=(a-3)(a+3) \]
Поэтому общий знаменатель для дробей в скобках:
\[ (a-3)(a+3)=a^{2}-9 \]
Первую дробь домножим на \(a+3\), вторую — на \(a-3\):
\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{(6a+1)(a+3)}{(a-3)(a+3)} + \frac{(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} \]
3. Раскроем скобки в числителях
Первое произведение:
\[ (6a+1)(a+3)=6a^{2}+18a+a+3=6a^{2}+19a+3 \]
Второе произведение:
\[ (6a-1)(a-3)=6a^{2}-18a-a+3=6a^{2}-19a+3 \]
Теперь складываем числители:
\[ 6a^{2}+19a+3+6a^{2}-19a+3 \]
Слагаемые \(19a\) и \(-19a\) взаимно уничтожаются:
\[ 12a^{2}+6 \]
Вынесем общий множитель \(6\):
\[ 12a^{2}+6=6(2a^{2}+1) \]
Значит,
\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} = \frac{6(2a^{2}+1)}{a^{2}-9} \]
4. Подставим это в исходное выражение
Получаем:
\[ \frac{a^{2}-9}{2a^{2}+1}\cdot \frac{6(2a^{2}+1)}{a^{2}-9} \]
Теперь видно, что множители сокращаются:
- \(a^{2}-9\) в числителе первой дроби и в знаменателе второй;
- \(2a^{2}+1\) в знаменателе первой дроби и в числителе второй.
После сокращения остаётся только
\[ 6 \]
То есть:
\[ \boxed{6} \]
5. Почему важно условие \(a\ne \pm 3\)
Если подставить \(a=3\) или \(a=-3\), то в исходном выражении появляется деление на нуль. Поэтому сокращать можно только при \(a\ne 3\) и \(a\ne -3\).
Ответ: выражение равно \(6\) при \(a\ne 3\) и \(a\ne -3\).
Можно проверить, например, при \(a=1\):
\[ \frac{1-9}{2+1}\left(\frac{7}{-2}+\frac{5}{4}\right) = \left(-\frac{8}{3}\right)\left(-\frac{9}{4}\right) = 6 \]
Проверка подтверждает ответ.
