В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB провели высоту CD и биссектрису CL. Найдите угол DCL, если угол CAB равен 25°. Запишите решение и ответ.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Тип 13 № 320 В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB провели высоту CD и биссектрису CL. Найдите угол DCL, если угол CAB равен 25°. Запишите решение и ответ.
Тип 13 № 3994 В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла CBY, если \(\angle CAB = 40^\circ\).
Тип 13 № 4013 В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, \(\angle ACB = 75^\circ\). На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, \(AX = BX\) и \(\angle BAX = \angle YAX\). Найдите длину отрезка AY, если \(AX = 20\).
Тип 13 № 4032 В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, \(\angle ACB = 75^\circ\). На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, \(AX = BX\) и \(\angle BAX = \angle YAX\). Найдите длину отрезка AY, если \(AX = 24\).
Тип 13 № 4166 В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла CBY, если \(\angle CAB = 38^\circ\).
Тип 13 № 4451 В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла CBY, если \(\angle XBY = 28^\circ\). Запишите решение и ответ.
Тип 13 № 6342 В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла CBY, если \(\angle XBY = 4^\circ\). Запишите решение и ответ.
На фото 7 заданий. Я решил все — ответы собраны в начале, затем ключевые шаги.
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(20^\circ\) |
| 2 | \(10^\circ\) |
| 3 | \(10\sqrt3\) |
| 4 | \(12\sqrt3\) |
| 5 | \(5^\circ\) |
| 6 | \(5^\circ\) |
| 7 | \(20^\circ\) |
1. В прямоугольном треугольнике угол \(C=90^\circ\), значит \(\angle B=65^\circ\).
В \(\triangle ACD\): \(\angle CAD=25^\circ\), поэтому
\[
\angle ACD=90^\circ-25^\circ=65^\circ.
\]
Биссектриса \(CL\) делит прямой угол пополам:
\[
\angle ACL=45^\circ.
\]
Следовательно,
\[
\angle DCL=65^\circ-45^\circ=20^\circ.
\]
2. Так как \(AB=AC\), \[ \angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ. \] Из \(AX=BX\) треугольник \(ABX\) равнобедренный: \[ \angle ABX=\angle BAX=40^\circ, \] поэтому \[ \angle AXB=100^\circ. \] Тогда смежный с ним \[ \angle BXY=180^\circ-100^\circ=80^\circ. \] В равнобедренном \(\triangle BXY\) с \(BX=BY\): \[ \angle XBY=180^\circ-2\cdot80^\circ=20^\circ. \] Остаётся вычесть из полного угла при вершине \(B\): \[ \angle CBY=70^\circ-40^\circ-20^\circ=10^\circ. \]
3–4. В \(\triangle ABC\): \[ AB=BC,\quad \angle ACB=75^\circ, \] поэтому \[ \angle BAC=75^\circ,\qquad \angle ABC=30^\circ. \] Так как \(X\) лежит на \(BC\), то \[ \angle ABX=30^\circ. \] Из \(AX=BX\) следует \[ \angle BAX=30^\circ. \] По условию \(\angle BAX=\angle YAX\), поэтому \[ \angle BAY=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \] В \(\triangle ABY\) угол при \(B\) равен \(30^\circ\), значит \[ \angle AYB=90^\circ. \] Пусть \(AX=s\). В \(\triangle ABX\) по теореме синусов: \[ AB=s\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=s\sqrt3. \] В прямоугольном \(\triangle ABY\): \[ AY=AB\cdot\sin30^\circ=\frac{s\sqrt3}{2}. \] Отсюда:
- при \(s=20\): \(AY=10\sqrt3\);
- при \(s=24\): \(AY=12\sqrt3\).
5–7. Здесь одна и та же конструкция: \(AB=AC\), точки \(A,X,Y\) лежат на одной прямой в порядке \(A-X-Y\), причём \[ AX=BX=BY. \] Обозначим \[ \angle CAB=\alpha. \] Тогда \[ \angle ABC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}. \] Из \(AX=BX\): \[ \angle ABX=\angle BAX=\alpha, \] значит \[ \angle AXB=180^\circ-2\alpha. \] Поэтому \[ \angle BXY=2\alpha. \] В равнобедренном \(\triangle BXY\): \[ \angle XBY=180^\circ-4\alpha. \] Теперь \[ \angle CBY=\angle ABC-\angle ABX-\angle XBY =\frac{5\alpha}{2}-90^\circ. \]
- №5: \(\alpha=38^\circ\), поэтому \[ \angle CBY=\frac{5\cdot38^\circ}{2}-90^\circ=5^\circ. \]
- №6: \(180^\circ-4\alpha=28^\circ\), откуда \(\alpha=38^\circ\), значит \[ \angle CBY=5^\circ. \]
- №7: \(180^\circ-4\alpha=4^\circ\), откуда \(\alpha=44^\circ\), значит \[ \angle CBY=\frac{5\cdot44^\circ}{2}-90^\circ=20^\circ. \]
