P(0,b), P1(x,y), l, l′, α

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: координатная плоскость с осями $x$ и $y$; прямая $l$ проходит через точку $P(0,b)$ на оси $y$ и точку $P_1(x,y)$; через $P$ параллельно оси $x$ проведена штриховая прямая $l'$; из $P_1$ опущена вертикальная штриховая линия; угол между прямой $l$ и горизонтальной штриховой прямой обозначен $\alpha$.]

Answer

По рисунку уравнение прямой имеет вид

$$
l:\quad y=(\mathrm{tg}\,\alpha)x+b.
$$

То есть угловой коэффициент прямой

$$
k=\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{y-b}{x},
$$

поэтому уравнение можно записать как

$$
y=kx+b.
$$

Как это получается

1. Точка $P(0,b)$ лежит на оси $y$, значит $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

2. Для точки $P_1(x,y)$ горизонтальное смещение от $P$ равно $x$, а вертикальное — $y-b$.

3. Прямая образует с горизонталью угол $\alpha$. В получившемся прямоугольном треугольнике
$$
\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}
=\frac{y-b}{x}.
$$

4. Отсюда
$$
y-b=x\,\mathrm{tg}\,\alpha,
$$
и окончательно
$$
y=x\,\mathrm{tg}\,\alpha+b.
$$

Проверка: при $x=0$ формула даёт $y=b$, то есть точку $P(0,b)$. Значит, прямая действительно проходит через $P$, а её наклон задаётся тангенсом угла $\alpha$.