Задача 2 а) По данным рисунка 3 найти c, h, r. б) По данным рисунка 4 найти h, a, cosα.

Краткий ответ

а) \(c = 25\), \(h = 12\), \(r = 5\) (радиус вписанной окружности). По ходу решения нашлись \(a_c = 9\) и \(b = 20\).

б) \(h = \sqrt{10}\), \(a = \sqrt{14}\), \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{35}}{7} = \sqrt{\frac{5}{7}}\).

Почему так

Высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит её на две проекции катетов. Обозначим \(a_c\) — проекцию катета \(a\), \(b_c\) — проекцию катета \(b\). Тогда: \[ c = a_c + b_c,\qquad a^2 = c\,a_c,\qquad b^2 = c\,b_c,\qquad h^2 = a_c\,b_c. \] Это следует из подобия трёх прямоугольных треугольников: большого и двух маленьких.

а) Рис. 3

Дано: \(a = 15\), \(b_c = 16\). Пусть \(a_c = x\). Тогда \(c = x + 16\). По формуле \(a^2 = c\,a_c\): \[ 225 = x(x+16), \] \[ x^2 + 16x - 225 = 0, \] \[ x = \frac{-16 + \sqrt{16^2 + 4\cdot 225}}{2} = \frac{-16 + 34}{2} = 9. \] Отрицательный корень не подходит, поэтому \(a_c = 9\), а \(c = 9 + 16 = 25\).

Далее: \[ h = \sqrt{a_c b_c} = \sqrt{9\cdot 16} = 12, \] \[ b = \sqrt{c b_c} = \sqrt{25\cdot 16} = 20. \] Я проверил: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2\).

Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{15+20-25}{2} = 5. \] Последняя буква в условии на фото мелкая; я прочитал её как \(r\). Если там имелась в виду проекция \(a_c\), то она равна \(9\) — это значение уже найдено выше.

б) Рис. 4

Дано: \(a_c = 2\), \(b_c = 5\). Тогда \[ c = 2 + 5 = 7, \] \[ h = \sqrt{2\cdot 5} = \sqrt{10}. \] Катет \(a\) прилежит к проекции \(2\): \[ a = \sqrt{c a_c} = \sqrt{7\cdot 2} = \sqrt{14}. \] Второй катет: \[ b = \sqrt{c b_c} = \sqrt{7\cdot 5} = \sqrt{35}. \] Угол \(\alpha\) находится между катетом \(b\) и гипотенузой, поэтому \[ \cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{35}}{7} = \sqrt{\frac{5}{7}}. \] Я проверил: \(a^2 + b^2 = 14 + 35 = 49 = 7^2\).

Что запомнить

В прямоугольном треугольнике катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции, а высота — среднее геометрическое проекций. В похожей задаче достаточно обозначить проекции, записать \(c = a_c + b_c\) и применить одну из формул — получится простое уравнение.