Задача 2 а) По данным рисунка 3 найти c, h, r. б) По данным рисунка 4 найти h, a, cosα.

Краткий ответ:

а) \(c=25,\ h=12,\ r=5\).

б) \(h=\sqrt{10},\ a=\sqrt{14},\ \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\).

Как это получается

Высота из прямого угла к гипотенузе делит её на отрезки — проекции катетов. Если \(x\) — отрезок у катета \(a\), а \(y\) — у катета \(b\), то:

\[ c=x+y,\qquad h^2=xy,\qquad a^2=xc,\qquad b^2=yc. \]

а) Рис. 3

Число \(16\) относится к отрезку гипотенузы у катета \(b\), значит у катета \(a=15\) отрезок равен \(c-16\). Поэтому:

\[ 15^2=(c-16)c \]

\[ 225=c^2-16c \]

\[ c^2-16c-225=0 \]

Корни: \(c=25\) и \(c=-9\). Подходит \(c=25\).

Тогда второй отрезок гипотенузы:

\[ 25-16=9 \]

\[ h^2=9\cdot16=144 \quad\Rightarrow\quad h=12 \]

Найдём второй катет:

\[ b^2=16\cdot25=400 \quad\Rightarrow\quad b=20 \]

Радиус вписанной окружности:

\[ r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{15+20-25}{2}=5 \]

б) Рис. 4

Гипотенуза:

\[ c=2+5=7 \]

Высота:

\[ h^2=2\cdot5=10 \quad\Rightarrow\quad h=\sqrt{10} \]

Верхний отрезок — проекция катета \(a\):

\[ a^2=2\cdot7=14 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{14} \]

Угол \(\alpha\) прилежит к катету \(b\):

\[ b^2=5\cdot7=35 \quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{35} \]

\[ \cos\alpha=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{35}}{7} \]

Проверка: \(15^2+20^2=25^2\), а \((\sqrt{14})^2+(\sqrt{35})^2=49=7^2\).