Найдите пересечение и объединение числовых промежутков: [5; 9] и (0; 8)

Краткий ответ

\[ [5;9]\cap(0;8)=[5;8) \]

\[ [5;9]\cup(0;8)=(0;9) \]

Как это получается

1. Что означают скобки. Квадратная скобка — конец входит в промежуток, круглая — не входит.

• \( [5;9] \) — все числа от 5 до 9, причём и 5, и 9 входят;
• \( (0;8) \) — все числа между 0 и 8, но сами 0 и 8 не входят.

2. Пересечение — общая часть (числа, которые есть в обоих промежутках).

Общая часть начинается с 5: число 5 есть и в \( [5;9] \), и в \( (0;8) \), значит, 5 входит → скобка квадратная.

Общая часть заканчивается на 8: число 8 есть в \( [5;9] \), но не входит в \( (0;8) \), значит, 8 не входит → скобка круглая.

\[ [5;9]\cap(0;8)=[5;8) \]

3. Объединение — всё, что покрыто хотя бы одним промежутком.

Слева начинается с 0: число 0 не входит ни в один промежуток → круглая скобка.

Справа заканчивается на 9: 9 входит в \( [5;9] \) → квадратная скобка. Внутри разрыва нет (промежутки перекрываются на \( [5;8) \)), поэтому получается один сплошной промежуток.

\[ [5;9]\cup(0;8)=(0;9) \]

Проверка

• \( 5 \): входит в оба → в пересечении есть, в объединении есть. ✔
• \( 6{,}5 \): входит в оба → есть и там, и там. ✔
• \( 8 \): есть только в \( [5;9] \) → в объединении есть, в пересечении нет. ✔
• \( 8{,}5 \): есть только в \( [5;9] \) → в объединении есть, в пересечении нет. ✔
• \( 0 \) и \( 9 \): 0 не входит никуда, 9 входит только в первый → в объединении 0 открыт, 9 закрыт. ✔

Короткое правило на будущее: при пересечении «побеждает» более строгий конец (круглая скобка), при объединении — более «щедрый» (квадратная). Главное — сначала нарисовать оба промежутка на числовой прямой, тогда концы видно сразу.