Present Perfect Present Perfect Continuous

Я не вижу изображения с заданием — оно не прикрепилось. Пришли фото ещё раз (или напиши условие текстом), и я сразу решу с объяснением.

Ответ: распределение по двум колонкам

Почему так

• Present Perfect — про результат, опыт, завершённость к моменту речи: I have just finished, Have you ever been there?, She hasn't come yet. Сюда же слова «к данному моменту»: so far, already, never, recently, before, today, this (week/month).
• Present Perfect Continuous — про длительность процесса, который начался раньше и ещё идёт (или только что закончился): I have been waiting for an hour, It has been raining all day long, How long have you been learning English?, He has been working here since 2020.

Важное уточнение: for, since, How long...?, today, this грамматически возможны с обоими временами — выбор зависит от смысла. В этой сортировке их относят к одному блоку по главному признаку: указание на длительность → Present Perfect Continuous, указание на результат/опыт → Present Perfect.

Проверка: все 17 карточек распределены, повторов нет.

Да, это самостоятельное новое задание: не английский, а алгебра — свойства степеней. Решаю его отдельно.

Кратко правило: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^n b^n\). Сначала сокращаем степени, потом подставляем значения.

Продолжаю ту же работу (№ 16–39): для каждого номера — подстановка и сокращение степеней. Напоминаю правила: \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^n b^n\), \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).

Числовые основания

16. \(\displaystyle\frac{24^4}{3^3\cdot 8^2}=\frac{3^4\cdot 8^4}{3^3\cdot 8^2}=3^{4-3}\cdot 8^{4-2}=3\cdot 64=\mathbf{192}\)

17. \(\displaystyle\frac{20^9}{5^8\cdot 4^7}=\frac{5^9\cdot 4^9}{5^8\cdot 4^7}=5^{1}\cdot 4^{2}=5\cdot 16=\mathbf{80}\)

18. \(\displaystyle\frac{15^6}{3^3\cdot 5^4}=\frac{3^6\cdot 5^6}{3^3\cdot 5^4}=3^{3}\cdot 5^{2}=27\cdot 25=\mathbf{675}\)

19. \(\displaystyle\frac{7^5\cdot 3^9}{21^5}=\frac{7^5\cdot 3^9}{3^5\cdot 7^5}=3^{9-5}=\mathbf{81}\)

20. \(\displaystyle\frac{7^8\cdot 10^{10}}{70^7}=\frac{7^8\cdot 10^{10}}{7^7\cdot 10^7}=7^{1}\cdot 10^{3}=\mathbf{7000}\)

21. \(\displaystyle\frac{6^7\cdot 11^4}{66^4}=\frac{6^7\cdot 11^4}{6^4\cdot 11^4}=6^{3}=\mathbf{216}\)

22. \(\displaystyle\frac{(3\cdot 8)^5}{3^2\cdot 8^4}=\frac{3^5\cdot 8^5}{3^2\cdot 8^4}=3^{3}\cdot 8=27\cdot 8=\mathbf{216}\)

23. \(\displaystyle\frac{(2\cdot 10)^{11}}{2^7\cdot 10^9}=\frac{2^{11}\cdot 10^{11}}{2^7\cdot 10^9}=2^{4}\cdot 10^{2}=16\cdot 100=\mathbf{1600}\)

24. \(\displaystyle\frac{(3\cdot 7)^6}{3^3\cdot 7^6}=\frac{3^6\cdot 7^6}{3^3\cdot 7^6}=3^{3}=\mathbf{27}\)

Одно основание \(a\)

25. \(a=7:\quad \dfrac{a^6\cdot a^{19}}{a^{23}}=a^{6+19-23}=a^{2}=7^2=\mathbf{49}\)

26. \(a=11:\quad \dfrac{a^{12}\cdot a^{6}}{a^{16}}=a^{18-16}=a^{2}=11^2=\mathbf{121}\)

27. \(a=5:\quad \dfrac{a^{24}\cdot a^{3}}{a^{24}}=a^{27-24}=a^{3}=5^3=\mathbf{125}\)

28. \(a=3:\quad \dfrac{(a^4)^5}{a^{17}}=\dfrac{a^{20}}{a^{17}}=a^{3}=3^3=\mathbf{27}\)

29. \(a=2:\quad \dfrac{(a^{11})^3}{a^{28}}=\dfrac{a^{33}}{a^{28}}=a^{5}=2^5=\mathbf{32}\)

30. \(a=2:\quad \dfrac{(a^{7})^6}{a^{36}}=\dfrac{a^{42}}{a^{36}}=a^{6}=2^6=\mathbf{64}\)

31. \(a=3:\quad \dfrac{(a^{5})^6\cdot a^{7}}{a^{32}}=\dfrac{a^{30}\cdot a^{7}}{a^{32}}=a^{37-32}=a^{5}=3^5=\mathbf{243}\)

32. \(a=2:\quad \dfrac{(a^{2})^3\cdot a^{4}}{a^{6}}=\dfrac{a^{6}\cdot a^{4}}{a^{6}}=a^{10-6}=a^{4}=2^4=\mathbf{16}\)

33. \(a=8:\quad \dfrac{(a^{10})^3\cdot a^{2}}{a^{31}}=\dfrac{a^{30}\cdot a^{2}}{a^{31}}=a^{32-31}=a^{1}=8\)

Два основания \(a\) и \(b\)

34. \(a=7:\quad \dfrac{a^{17}\cdot (b^5)^3}{(ab)^{15}}=\dfrac{a^{17}b^{15}}{a^{15}b^{15}}=a^{2}=7^2=\mathbf{49}\)

35. \(a=12:\quad \dfrac{a^{16}\cdot (b^2)^7}{(ab)^{14}}=\dfrac{a^{16}b^{14}}{a^{14}b^{14}}=a^{2}=12^2=\mathbf{144}\)

36. \(a=2:\quad \dfrac{a^{30}\cdot (b^4)^5}{(ab)^{20}}=\dfrac{a^{30}b^{20}}{a^{20}b^{20}}=a^{10}=2^{10}=\mathbf{1024}\)

Отрицательные показатели

37. \(a=2:\quad \dfrac{(a^2)^{-6}}{a^{-14}}=\dfrac{a^{-12}}{a^{-14}}=a^{-12-(-14)}=a^{2}=2^2=\mathbf{4}\)

38. \(a=4:\quad \dfrac{(a^3)^{-4}}{a^{-15}}=\dfrac{a^{-12}}{a^{-15}}=a^{-12+15}=a^{3}=4^3=\mathbf{64}\)

39. \(a=15:\quad \dfrac{(a^{-6})^4}{a^{-25}}=\dfrac{a^{-24}}{a^{-25}}=a^{-24+25}=a^{1}=15\)

Проверка (ответы по порядку): 192, 80, 675, 81, 7000, 216, 216, 1600, 27, 49, 121, 125, 27, 32, 64, 243, 16, 8, 49, 144, 1024, 4, 64, 15.

Если в каком-то номере у тебя на карточке другое значение \(a\), скажи номер и значение — пересчитаю за один шаг.

Ниже — полные решения № 25–39. Значения переменных беру те, что были в карточках: № 25 — \(a=7\), 26 — \(a=11\), 27 — \(a=5\), 28 — \(a=3\), 29 — \(a=2\), 30 — \(a=2\), 31 — \(a=3\), 32 — \(a=2\), 33 — \(a=8\), 34 — \(a=7\), 35 — \(a=12\), 36 — \(a=2\), 37 — \(a=2\), 38 — \(a=4\), 39 — \(a=15\).

Используем три свойства: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\).

25. \(a=7\) \[ a^{6}\cdot a^{19}:a^{23}=a^{6+19}:a^{23}=a^{25}:a^{23}=a^{25-23}=a^{2}=7^{2}=\mathbf{49} \]

26. \(a=11\) \[ \frac{a^{12}\cdot a^{6}}{a^{16}}=\frac{a^{12+6}}{a^{16}}=\frac{a^{18}}{a^{16}}=a^{18-16}=a^{2}=11^{2}=\mathbf{121} \]

27. \(a=5\) \[ \frac{a^{24}\cdot a^{3}}{a^{24}}=\frac{a^{24+3}}{a^{24}}=\frac{a^{27}}{a^{24}}=a^{27-24}=a^{3}=5^{3}=\mathbf{125} \]

28. \(a=3\) \[ \frac{(a^{4})^{5}}{a^{17}}=\frac{a^{4\cdot 5}}{a^{17}}=\frac{a^{20}}{a^{17}}=a^{20-17}=a^{3}=3^{3}=\mathbf{27} \]

29. \(a=2\) \[ \frac{(a^{11})^{3}}{a^{28}}=\frac{a^{11\cdot 3}}{a^{28}}=\frac{a^{33}}{a^{28}}=a^{33-28}=a^{5}=2^{5}=\mathbf{32} \]

30. \(a=2\) \[ \frac{(a^{7})^{6}}{a^{36}}=\frac{a^{7\cdot 6}}{a^{36}}=\frac{a^{42}}{a^{36}}=a^{42-36}=a^{6}=2^{6}=\mathbf{64} \]

31. \(a=3\) \[ \frac{(a^{5})^{6}\cdot a^{7}}{a^{32}}=\frac{a^{30}\cdot a^{7}}{a^{32}}=\frac{a^{30+7}}{a^{32}}=\frac{a^{37}}{a^{32}}=a^{37-32}=a^{5}=3^{5}=\mathbf{243} \]

32. \(a=2\) \[ \frac{(a^{2})^{3}\cdot a^{4}}{a^{6}}=\frac{a^{6}\cdot a^{4}}{a^{6}}=\frac{a^{6+4}}{a^{6}}=\frac{a^{10}}{a^{6}}=a^{10-6}=a^{4}=2^{4}=\mathbf{16} \]

33. \(a=8\) \[ \frac{(a^{10})^{3}\cdot a^{2}}{a^{31}}=\frac{a^{30}\cdot a^{2}}{a^{31}}=\frac{a^{30+2}}{a^{31}}=\frac{a^{32}}{a^{31}}=a^{32-31}=a^{1}=8 \]

34. \(a=7\) (значение \(b\) не нужно — оно сокращается) \[ \frac{a^{17}\cdot (b^{5})^{3}}{(ab)^{15}}=\frac{a^{17}\cdot b^{15}}{a^{15}\cdot b^{15}}=\frac{a^{17}}{a^{15}}\cdot\frac{b^{15}}{b^{15}}=a^{17-15}\cdot 1=a^{2}=7^{2}=\mathbf{49} \]

35. \(a=12\) \[ \frac{a^{16}\cdot (b^{2})^{7}}{(ab)^{14}}=\frac{a^{16}\cdot b^{14}}{a^{14}\cdot b^{14}}=\frac{a^{16}}{a^{14}}\cdot\frac{b^{14}}{b^{14}}=a^{16-14}=a^{2}=12^{2}=\mathbf{144} \]

36. \(a=2\) \[ \frac{a^{30}\cdot (b^{4})^{5}}{(ab)^{20}}=\frac{a^{30}\cdot b^{20}}{a^{20}\cdot b^{20}}=\frac{a^{30}}{a^{20}}\cdot\frac{b^{20}}{b^{20}}=a^{30-20}=a^{10}=2^{10}=\mathbf{1024} \]

37. \(a=2\) \[ \frac{(a^{2})^{-6}}{a^{-14}}=\frac{a^{2\cdot(-6)}}{a^{-14}}=\frac{a^{-12}}{a^{-14}}=a^{-12-(-14)}=a^{-12+14}=a^{2}=2^{2}=\mathbf{4} \]

38. \(a=4\) \[ \frac{(a^{3})^{-4}}{a^{-15}}=\frac{a^{3\cdot(-4)}}{a^{-15}}=\frac{a^{-12}}{a^{-15}}=a^{-12-(-15)}=a^{-12+15}=a^{3}=4^{3}=\mathbf{64} \]

39. \(a=15\) \[ \frac{(a^{-6})^{4}}{a^{-25}}=\frac{a^{-6\cdot 4}}{a^{-25}}=\frac{a^{-24}}{a^{-25}}=a^{-24-(-25)}=a^{-24+25}=a^{1}=15 \]

Проверка ответов по порядку: 49, 121, 125, 27, 32, 64, 243, 16, 8, 49, 144, 1024, 4, 64, 15.

Главное, что стоит запомнить: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, а при возведении степени в степень — перемножаются. Отрицательный показатель при делении удобно считать так: \(a^{-m}:a^{-n}=a^{-m+n}\), то есть «минус на минус даёт плюс» в показателе.

Если в каком-то номере на карточке другое значение \(a\) (или \(b\) не сокращается), назови номер и число — пересчитаю.