иштеп бер

Сиз \(1{,}2\cdot 0{,}2-1{,}2\cdot 0{,}8=1{,}2\,(0{,}2-0{,}8)\) деген жердеги скобканы сурап жатасызбы? Анда себеби мындай:

Бул жерде скобка «жасалма» коюлган жок — жалпы көбейткішті скобка сыртына чыгардык. Мунун негизи — көбейтүүнүн бөлүштүрүү закону: \[ab-ac=a(b-c)\]

Бул жерде эки мүчөдө тең \(1{,}2\) көбейткіші бар: \[1{,}2\cdot 0{,}2-1{,}2\cdot 0{,}8\]

Ошондуктан \(1{,}2\)-ни скобканын сыртына чыгарып, ичинде калганын жазабыз: \[1{,}2\,(0{,}2-0{,}8)\]

Текшерүү (кайра көбөйтүп коюу): \[1{,}2\,(0{,}2-0{,}8)=1{,}2\cdot 0{,}2-1{,}2\cdot 0{,}8\] — так эле баштапкы өрнек чыгат, демек алмаштыруу туура.

Эмне үчүн бул керек? Скобканын ичиндеги айырманы эсептөө оңой: \(0{,}2-0{,}8=-0{,}6\). Анан алымында да, бөлімінде да \((-0{,}6)\) пайда болуп, аны кыскартып салууга мүмкүн болот: \[\frac{3\cdot(-0{,}6)}{1{,}2\cdot(-0{,}6)}=\frac{3}{1{,}2}=2{,}5\]

Ал \((-0{,}6)\) деген скобка болсо — бул жөн гана терс санды жазуунун таза формасы: минус белгиси көбейтүүгө эмес, санга таандык экенин көрсөтөт. Эсептөөнүн жүрүшүнө таасир этпейт.

Кыскача: скобка — жалпы көбейткішті бөлүп чыгаруу үчүн коюлган, анткени \(ab-ac=a(b-c)\).

Дәптерге мынаны жазасың:

1-тапсырма \[ \frac{1{,}2^{2}-1{,}8^{2}}{1{,}2\cdot 0{,}2-1{,}2\cdot 0{,}8} \]

Алымы: \(1{,}2^{2}-1{,}8^{2}=(1{,}2-1{,}8)(1{,}2+1{,}8)=-0{,}6\cdot 3=-1{,}8\)

Бөлімі: \(1{,}2\cdot 0{,}2-1{,}2\cdot 0{,}8=1{,}2(0{,}2-0{,}8)=1{,}2\cdot(-0{,}6)=-0{,}72\)

\[ \frac{-1{,}8}{-0{,}72}=2{,}5 \]

Жообу: \(2{,}5\)

2-тапсырма \[ \frac{2a^{2}-5a+2}{ab-2b-3a+6} \]

Алымы: \(2a^{2}-5a+2=2a^{2}-4a-a+2=2a(a-2)-(a-2)=(a-2)(2a-1)\)

Бөлімі: \(ab-2b-3a+6=b(a-2)-3(a-2)=(a-2)(b-3)\)

\[ \frac{(a-2)(2a-1)}{(a-2)(b-3)}=\frac{2a-1}{b-3} \]

Жообу: \(\dfrac{2a-1}{b-3}\), мұндағы \(a\neq 2,\ b\neq 3\)

3-тапсырма — өрнегі көрінбей жатыр, сол жағын түсіріп жіберсең, аны да дәптерге жазарлык етіп шығарып берем.

Ооба, 2-тапсырма — туюнтманы жөнөкөйлөтүү. Дәптерге мынаны жазасың:

\[ \frac{2a^{2}-5a+2}{ab-2b-3a+6} \]

1) Алымын көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз.

Дискриминант аркылуу: \[ 2a^{2}-5a+2=0,\quad D=25-16=9,\quad a=\frac{5\pm 3}{4} \] \[ a_{1}=2,\qquad a_{2}=\frac{1}{2} \]

Демек: \[ 2a^{2}-5a+2=2\left(a-2\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)=(a-2)(2a-1) \]

2) Бөлүмүн топтоштуруп ажыратабыз. \[ ab-2b-3a+6=b(a-2)-3(a-2)=(a-2)(b-3) \]

3) Жалпы \((a-2)\) көбөйтүүчүсүн кыскартабыз. \[ \frac{(a-2)(2a-1)}{(a-2)(b-3)}=\frac{2a-1}{b-3} \]

Жообу: \(\dfrac{2a-1}{b-3}\)

Маанисиз болгон учурлар: бөлүм нөлгө айланбашы керек, ошондуктан \(a\neq 2\) жана \(b\neq 3\). Буларды жооптун жанына жазып кой.

Текшерүү: \(a=1,\ b=1\) деп алсак, баштапкы өрнек \(\frac{2-5+2}{1-2-3+6}=\frac{-1}{2}=-0{,}5\), ал эми жөнөкөйлөтүлгөнү \(\frac{2-1}{1-3}=-0{,}5\). Дал келет ✓

Кыскача эреже: бөлчөктү жөнөкөйлөтүү үчүн алымын да, бөлүмүн да көбөйтүүчүлөргө ажыратып, жалпы көбөйтүүчүлөрүн кыскартасың.

3-тапсырма. Теңдемелер системасын чыгаруу

\[ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=25 \\ x^{2}-y=5 \end{cases} \]

Жообу: \((0;\,-5)\), \((3;\,4)\), \((-3;\,4)\).

Дәптерге жазу

Экинчи теңдемеден \(x^{2}=y+5\). Муну биринчи теңдемеге коёбуз: \[ (y+5)+y^{2}=25 \] \[ y^{2}+y-20=0 \] \[ D=1+80=81,\qquad y_{1}=\frac{-1-9}{2}=-5,\qquad y_{2}=\frac{-1+9}{2}=4 \]

1) \(y=-5\): \[ x^{2}=-5+5=0 \;\Rightarrow\; x=0 \] \[ (0;\,-5) \]

2) \(y=4\): \[ x^{2}=4+5=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3 \] \[ (3;\,4),\quad (-3;\,4) \]

Текшерүү

• \((0;\,-5)\): \(0+25=25\) ✓, \(0-(-5)=5\) ✓
• \((3;\,4)\): \(9+16=25\) ✓, \(9-4=5\) ✓
• \((-3;\,4)\): \(9+16=25\) ✓, \(9-4=5\) ✓

Эске тутуу: биринчи теңдемеден экинчисин кемитип коюу да ыкчам жол берет: \[ y^{2}+y=20 \;\Rightarrow\; y^{2}+y-20=0 \] — ошол эле \(y=-5\) жана \(y=4\) чыгат. Андан кийин ар бир \(y\) үчүн \(x^{2}=y+5\) тен \(x\)-ти табасың.