587. Запишите в стандартном виде многочлен:

Краткий ответ: а) \(a^2x^3+a^4\);

б) \(16xy^2-16x^2y\).

Порядок слагаемых можно менять: например, \(a^4+a^2x^3\) и \(-16x^2y+16xy^2\) — это те же многочлены.

Как приводить многочлен к стандартному виду

1. Записываем каждый одночлен в стандартном виде: перемножаем коэффициенты и одинаковые буквы.
2. Приводим подобные члены — слагаемые с одинаковой буквенной частью.

а) \[ 2a^2x^3-ax^3-a^4-a^2x^3+ax^3+2a^4 \] Группируем подобные: \[ (2a^2x^3-a^2x^3)+(-ax^3+ax^3)+(-a^4+2a^4) =a^2x^3+a^4. \] Слагаемые \(a^2x^3\) и \(a^4\) не подобны, поэтому дальше не складываются.

б) Сначала выполняем умножение: \[ 5x\cdot2y^2=10xy^2,\qquad 5x\cdot3xy=15x^2y. \] Получаем: \[ 10xy^2-15x^2y-x^2y+6xy^2. \] Приводим подобные: \[ (10xy^2+6xy^2)+(-15x^2y-x^2y) =16xy^2-16x^2y. \]

Проверка: при \(a=1,\ x=2\) исходное выражение и ответ дают \(9\); при \(x=1,\ y=1\) обе записи для б) дают \(0\).