Контрольная работа № 2 Тема. Функция. Квадратичная функция, её график и свойства 1. Функция задана формулой f(x)=1/3 x² + 2x. Найдите:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 2
Тема. Функция.
Квадратичная функция, её график и свойства

1. Функция задана формулой $ f(x)=\frac{1}{3}x^2+2x $. Найдите:

1. $ f(3) $ и $ f(-1) $; 2) нули функции.

2. Найдите область определения функции:

1. $ f(x)=\frac{x^2-5}{x^2-6x-16} $;

2. $ f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{8}{x^2-9} $.

3. Постройте график функции $ f(x)=x^2+4x-5 $. Используя график, найдите:

1. область значений данной функции;

2. промежуток убывания функции;

3. множество решений неравенства $ f(x)<0 $.

4. Постройте график функции:

1. $ f(x)=\sqrt{x+4} $; 2) $ f(x)=\sqrt{x}+4 $.

Answer

Ниже — решение всей контрольной.

Краткий ответ

1.
$$
f(3)=9,\qquad f(-1)=-\frac53=-1\frac23.
$$
Нули функции: $x=-6$ и $x=0$.

2.

1. Область определения:
$$
(-\infty;-2)\cup(-2;8)\cup(8;+\infty).
$$

2. Область определения:
$$
[-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).
$$

3.
График $f(x)=x^2+4x-5$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(-2;-9)$, нули $-5$ и $1$.

1. Область значений: $[-9;+\infty)$.

2. Промежуток убывания: $(-\infty;-2]$.

3. $f(x)<0$ при $x\in(-5;1)$.

4.

1. $f(x)=\sqrt{x+4}$ — ветвь графика $y=\sqrt{x}$, сдвинутая на $4$ влево. Начало в точке $(-4;0)$.

2. $f(x)=\sqrt{x}+4$ — ветвь $y=\sqrt{x}$, сдвинутая на $4$ вверх. Начало в точке $(0;4)$.

Как это получается

1. Значения функции и нули

Подставляем $x=3$:
$$
f(3)=\frac13\cdot 3^2+2\cdot3=3+6=9.
$$

Подставляем $x=-1$:
$$
f(-1)=\frac13\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=\frac13-2=-\frac53.
$$

Нули функции — это решения уравнения $f(x)=0$:
$$
\frac13x^2+2x=0,
$$
$$
x\left(\frac13x+2\right)=0.
$$
Отсюда:
$$
x=0 \quad\text{или}\quad \frac13x=-2,
$$
то есть $x=-6$.

Проверка:
$f(-6)=\frac13\cdot36-12=12-12=0$, $f(0)=0$.

2. Область определения

1) Знаменатель не может быть равен нулю:
$$
x^2-6x-16\ne0.
$$
Разложим:
$$
x^2-6x-16=(x-8)(x+2).
$$
Значит:
$$
x\ne8,\qquad x\ne-2.
$$
Поэтому:
$$
(-\infty;-2)\cup(-2;8)\cup(8;+\infty).
$$

2) Подкоренное выражение неотрицательно:
$$
x+4\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-4.
$$
Кроме того, знаменатель $x^2-9\ne0$, значит:
$$
x\ne-3,\qquad x\ne3.
$$
Объединяем условия:
$$
[-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).
$$

3. График $f(x)=x^2+4x-5$

Выделим полный квадрат:
$$
x^2+4x-5=(x+2)^2-9.
$$
Значит, вершина параболы:
$$
(-2;-9).
$$

Нули:
$$
x^2+4x-5=0,
$$
$$
D=16+20=36,
$$
$$
x=\frac{-4\pm6}{2}.
$$
Отсюда:
$$
x=-5,\qquad x=1.
$$

Парабола ветвями вверх, поэтому:

наименьшее значение функции $=-9$, область значений:
$$
[-9;+\infty);
$$

до вершины функция убывает:
$$
(-\infty;-2];
$$

ниже оси $Ox$ график находится между корнями:
$$
-5<x<1,
$$
то есть
$$
x\in(-5;1).
$$

Для построения можно взять точки:
$$
(-5;0),\quad (-3;-8),\quad (-2;-9),\quad (-1;-8),\quad (1;0).
$$

4. Графики с корнем

1) $f(x)=\sqrt{x+4}$.
Область определения:
$$
x+4\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-4.
$$
График начинается в точке $(-4;0)$ и идёт вправо-вверх. Например:
$$
(-4;0),\quad (-3;1),\quad (0;2),\quad (5;3).
$$

2) $f(x)=\sqrt{x}+4$.
Область определения:
$$
x\ge0.
$$
График начинается в точке $(0;4)$ и идёт вправо-вверх. Например:
$$
(0;4),\quad (1;5),\quad (4;6),\quad (9;7).
$$

Главное различие: в первом случае $4$ прибавляется под корнем, поэтому график сдвигается влево; во втором $4$ прибавляется после корня, поэтому график сдвигается вверх.