Задарие по геометрии
Сверь числа и знаки с фото.
Какую фигуру представляет из себя: а) середина отрезка, б) средняя линия треугольника, в) средняя линия трапеции? Уметь отмечать середину отрезка, обозначать её на чертеже, строить среднюю линию треугольника, среднюю линию трапеции. Каким знаком обозначаются параллельные элементы? Начертите в тетради среднюю линию прямоугольного треугольника, параллельную гипотенузе. Вычислите проведенную среднюю линию, если гипотенуза равна: а) 66 дм.; б) 35 м.; в) 71,25 см.
Кратко
- а) Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок пополам. Строго говоря, это не фигура, а точка.
- б) Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
- в) Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Параллельные элементы обозначаются знаком \(\parallel\), например: \[ AB \parallel CD. \]
В прямоугольном треугольнике средняя линия, параллельная гипотенузе, равна половине гипотенузы:
\[ m=\frac{c}{2} \]
Ответы:
- а) \(66:2=33\) дм;
- б) \(35:2=17{,}5\) м;
- в) \(71{,}25:2=35{,}625\) см.
Как это понять
Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, а \(AB\) — гипотенуза. Отметь середины \(M\) и \(N\) катетов \(AC\) и \(BC\) и соедини их. Отрезок \(MN\) и есть средняя линия, параллельная гипотенузе:
\[ MN \parallel AB,\qquad MN=\frac{AB}{2}. \]
Проверка:
\[ 33\cdot2=66,\qquad 17{,}5\cdot2=35,\qquad 35{,}625\cdot2=71{,}25. \]
Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщенияГде картиники
Рисунков у меня нет: в сообщении пришли только пункты а), б), в), а сами изображения (или номера рисунков) не передались. Поэтому пункт «назови параллельные элементы по рисунку» я выполнить не могу — без рисунка это будет угадывание.
Пришли фото страницы с рисунками или опиши коротко, что на них изображено (например: «рис. 1 — треугольник \(ABC\), отмечены середины \(M\) и \(N\) сторон \(AC\) и \(BC\)»). Тогда я подпишу все параллельные элементы и проверю, где какая средняя линия.
Почему средняя линия равна половине стороны?
Короткий ответ: средняя линия отсекает от треугольника треугольник, который подобен исходному с коэффициентом \(\frac12\). Поэтому все его стороны, в том числе средняя линия, вдвое меньше соответствующих сторон исходного треугольника.
Доказательство 1 — через равные треугольники и параллелограмм
Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Продолжим отрезок \(MN\) за точку \(N\) и отложим \(ND=MN\).
- Треугольники \(AMN\) и \(CDN\) равны: \(AN=NC\) (так как \(N\) — середина), \(\angle ANM=\angle CND\) (вертикальные углы), \(MN=ND\) (по построению).
- Значит, \(AM=CD\) и \(\angle MAN=\angle DCN\). Эти углы накрест лежащие при прямых \(AB\) и \(CD\) с секущей \(AC\), поэтому \(AB \parallel CD\).
- Тогда в четырёхугольнике \(MBCD\) стороны \(MB\) и \(CD\) равны (\(MB=AM=CD\)) и параллельны. Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, это параллелограмм.
- В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(MD=BC\). Но \(MD=MN+ND=2MN\). Отсюда
\[ MN=\frac{BC}{2}, \qquad MN \parallel BC. \]
Доказательство 2 — в одну строку (подобие)
У треугольников \(AMN\) и \(ABC\) угол \(A\) общий, а
\[ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12 . \]
Значит, треугольники подобны с коэффициентом \(\frac12\), поэтому \(\frac{MN}{BC}=\frac12\) и соответствующие углы равны — то есть \(MN \parallel BC\).
Проверка на примере
Треугольник со сторонами \(6\), \(8\), \(10\). Середины двух сторон соединяем: получили треугольник со сторонами \(3\), \(4\), \(5\). Средняя линия, параллельная стороне \(10\), равна \(5\) — ровно половина. Периметр при этом тоже уменьшается вдвое: \(24 \to 12\).
Про трапецию
Для трапеции с основаниями \(a\) и \(b\) средняя линия равна не половине стороны, а полусумме оснований:
\[ m=\frac{a+b}{2}. \]
Её получают так же: проводят диагональ, она разбивает трапецию на два треугольника, и в каждом средняя линия равна половине «своего» основания; складывая, получают \(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\).
