583 объясни как решать
Сверь числа и знаки с фото.
583 Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна c.
Краткий ответ: искомый катет равен
\[ \frac{c\sqrt3}{2}. \]
Как решать
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\). Если один угол \(60^\circ\), то второй: \[ 90^\circ-60^\circ=30^\circ. \]
Нужный катет лежит против угла \(60^\circ\). Обозначим его \(a\), гипотенузу — \(c\). По определению синуса: \[ \sin 60^\circ=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c}. \]
Так как \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем: \[ \frac{a}{c}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad a=\frac{c\sqrt3}{2}. \]
Проверка другим способом. Катет против угла \(30^\circ\) равен \(\frac c2\). Тогда по теореме Пифагора нужный катет: \[ a=\sqrt{c^2-\left(\frac c2\right)^2} =\sqrt{c^2-\frac{c^2}{4}} =\sqrt{\frac{3c^2}{4}} =\frac{c\sqrt3}{2}. \]
Что запомнить: в прямоугольном треугольнике с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) стороны относятся как \[ 1:\sqrt3:2. \] Гипотенуза соответствует \(2\), а катет против \(60^\circ\) — \(\sqrt3\).
Обсуждение
8 сообщенийА если без синуса
Да, можно без синусов — через свойство угла \(30^\circ\) и теорему Пифагора.
Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), угол \(A=60^\circ\), угол \(B=30^\circ\), гипотенуза \(AB=c\). Нужен катет \(BC\), лежащий против угла \(60^\circ\).
Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \[ AC=\frac{c}{2}. \]
По теореме Пифагора: \[ AB^2=AC^2+BC^2. \] Подставляем: \[ c^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+BC^2 =c^2\cdot\frac14+BC^2. \] Тогда \[ BC^2=c^2-\frac{c^2}{4}=\frac{3c^2}{4}, \] \[ BC=\frac{c\sqrt3}{2}. \]
Ответ: \[ \boxed{BC=\frac{c\sqrt3}{2}} \]
Почему катет против \(30^\circ\) равен половине гипотенузы, тоже можно объяснить без синуса: отразить точку \(A\) симметрично относительно \(BC\). Получится равносторонний треугольник, и \(AD=AB=c\). Но \(AD=2AC\), значит \(AC=\frac c2\). После этого остаётся только теорема Пифагора.
Откуда взялась 1/4
\(\frac14\) появилась при возведении в квадрат \(\frac c2\):
\[ \left(\frac c2\right)^2 =\frac{c^2}{2^2} =\frac{c^2}{4} =\frac14 c^2. \]
То есть \(AC=\frac c2\), поэтому
\[ AC^2=\left(\frac c2\right)^2=\frac{c^2}{4}. \]
Проверим на числе: если \(c=10\), то
\[ AC=\frac{10}{2}=5, \qquad AC^2=25. \]
А по формуле:
\[ \frac{c^2}{4}=\frac{10^2}{4}=\frac{100}{4}=25. \]
Значит, в уравнении Пифагора
\[ c^2=\left(\frac c2\right)^2+BC^2 \]
слагаемое \(\left(\frac c2\right)^2\) действительно равно \(\frac{c^2}{4}\). Затем:
\[ BC^2=c^2-\frac{c^2}{4} =\frac{4c^2}{4}-\frac{c^2}{4} =\frac{3c^2}{4}. \]
Здесь \(\frac14\) — это просто квадрат числа \(\frac12\), а не какая-то новая величина.
Спасибо
Пожалуйста! Если нужно, разберём похожее задание — например, когда известен катет, а найти нужно гипотенузу.
Как получатется 3 с²
Берём уравнение Пифагора:
\[ c^2=\frac{c^2}{4}+BC^2. \]
Переносим \(\frac{c^2}{4}\) влево:
\[ BC^2=c^2-\frac{c^2}{4}. \]
Теперь приведём к общему знаменателю \(4\). Целое \(c^2\) — это \(\frac{4c^2}{4}\):
\[ c^2=\frac{4c^2}{4}. \]
Вычитаем:
\[ BC^2=\frac{4c^2}{4}-\frac{c^2}{4} =\frac{4c^2-c^2}{4} =\frac{3c^2}{4}. \]
То есть \(3c^2\) получилось потому, что было \(4c^2\) и вычли \(1c^2\):
\[ 4c^2-c^2=3c^2. \]
Дальше извлекаем корень:
\[ BC=\sqrt{\frac{3c^2}{4}} =\frac{\sqrt{3c^2}}{\sqrt4} =\frac{c\sqrt3}{2}. \]
Проверка на числе: если \(c=10\), то
\[ BC^2=100-\frac{100}{4}=100-25=75, \]
а по формуле
\[ BC^2=\frac{3\cdot100}{4}=\frac{300}{4}=75. \]
Всё сходится: \(3c^2\) — это просто числитель дроби \(\frac{3c^2}{4}\), а не отдельная новая формула.
