а) Решите уравнение 4cos(x+π/4)+2√2cos(π−x)=2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [17π/2; 10π].

Краткий ответ

а) \[ x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

б) \[ \frac{37\pi}{4};\ \frac{39\pi}{4}. \]

Как решать

Используем формулы сложения и приведения:

\[ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\cos x\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}(\cos x-\sin x), \]

поэтому

\[ 4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt2(\cos x-\sin x). \]

Кроме того,

\[ \cos(\pi-x)=-\cos x, \]

значит,

\[ 2\sqrt2\cos(\pi-x)=-2\sqrt2\cos x. \]

Подставляем в уравнение:

\[ 2\sqrt2(\cos x-\sin x)-2\sqrt2\cos x=2. \]

Слагаемые с \(\cos x\) сокращаются:

\[ -2\sqrt2\sin x=2, \]

\[ \sin x=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Отсюда две серии корней:

\[ x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \]

и

\[ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Отбор корней на отрезке

\[ \left[\frac{17\pi}{2};10\pi\right] = \left[\frac{34\pi}{4};\frac{40\pi}{4}\right]. \]

Для первой серии подходит \(k=5\):

\[ x=-\frac{\pi}{4}+10\pi=\frac{39\pi}{4}. \]

Для второй серии подходит \(k=4\):

\[ x=\frac{5\pi}{4}+8\pi=\frac{37\pi}{4}. \]

Оба числа лежат в заданном отрезке:

\[ \frac{34\pi}{4}<\frac{37\pi}{4}<\frac{39\pi}{4}<\frac{40\pi}{4}. \]

Проверка

\[ \sin\frac{37\pi}{4} =\sin\left(8\pi+\frac{5\pi}{4}\right) =-\frac{\sqrt2}{2}, \]

\[ \sin\frac{39\pi}{4} =\sin\left(8\pi+\frac{7\pi}{4}\right) =-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Значит, оба корня удовлетворяют уравнению.