Контрольная работа №1 «Функции» 4 вариант. 1. Найдите область определения функции: f(x)=√(x+3)+x²−26

Кратко по варианту

1. \(D(f)=[-3;\,+\infty)\).
2. График на фото слишком мелкий: подписи делений по осям не читаются, а именно от них зависят все три ответа. Ниже — как их снять с рисунка; пришлите крупный скриншот графика, и я назову числа.
3. \(y=3x^2\) — растяжение \(y=x^2\) в 3 раза от оси \(Ox\); \(y=(x+3)^2-2\) — сдвиг \(y=x^2\) на 3 влево и на 2 вниз.
4. \(f(x)=x^2+2x-3\): ветви вверх, вершина \((-1;\,-4)\), нули \(x_1=1\), \(x_2=-3\).
5. \(a=\frac{1}{3}\), \(b=-\frac{1}{3}\).

1. Область определения

\[ f(x)=\sqrt{x+3}+x^2-26 \]

Принцип: корень чётной степени берётся только из неотрицательного числа, а многочлен \(x^2-26\) определён при любых \(x\). Значит, ограничение одно:

\[ x+3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -3,\qquad D(f)=[-3;\,+\infty). \]

Проверка: при \(x=-3\) получаем \(\sqrt{0}+9-26\) — считается; при \(x=-4\) под корнем \(-1\) — нельзя.

На фото черта корня проходит над \(x+3\). Если в вашем варианте она короче и накрывает только \(x\), то ответ будет \([0;\,+\infty)\).

3. Как получаются графики из \(y=x^2\)

• \(y=3x^2\): каждая ордината умножается на 3, график вытягивается вдоль оси \(Oy\). Точки: \((0;0)\), \((\pm1;3)\), \((\pm2;12)\).
• \(y=(x+3)^2-2\): общий вид \(y=(x-m)^2+n\) даёт вершину \((m;n)\). Здесь \(m=-3\), \(n=-2\), то есть вершина \((-3;-2)\): сдвиг влево на 3 и вниз на 2. Точки: \((-3;-2)\), \((-2;-1)\), \((-4;-1)\), \((-1;2)\), \((-5;2)\), \((0;7)\).

4. График \(f(x)=x^2+2x-3\)

Порядок действий для любой параболы:

1. \(a=1>0\) — ветви вверх.
2. Вершина: \(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1\), \(y_0=f(-1)=1-2-3=-4\).
3. Нули: \(x^2+2x-3=0\), \(D=4+12=16\), \(x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}\), то есть \(x_1=1\), \(x_2=-3\).
4. Пересечение с \(Oy\): \(f(0)=-3\); симметричная точка \((-2;-3)\).
5. Ось симметрии \(x=-1\).

Проверка: \(f(1)=0\), \(f(-3)=0\), \(f(-1)=-4\) — всё сходится.

5. Парабола через две точки

Если точка лежит на графике, её координаты обращают уравнение в верное равенство.

\[ C(-3;8):\quad 9a-3b+4=8 \;\Rightarrow\; 9a-3b=4 \] \[ K(1;4):\quad a+b+4=4 \;\Rightarrow\; a+b=0 \;\Rightarrow\; b=-a \]

Подставляем \(b=-a\) в первое уравнение:

\[ 9a+3a=4,\qquad 12a=4,\qquad a=\frac{1}{3},\quad b=-\frac{1}{3}. \]

Проверка для \(y=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x+4\): при \(x=-3\) будет \(3+1+4=8\), при \(x=1\) будет \(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+4=4\). Обе точки на месте.

2. Что делать с графиком

• Нули функции — абсциссы точек, где график пересекает ось \(Ox\) или касается её (там \(y=0\)).
• Возрастание/убывание: идём слева направо; где линия поднимается — возрастает, где опускается — убывает. В ответ пишем промежутки по \(x\); точки экстремумов обычно включают в оба соседних промежутка.
• Положительные значения — промежутки по \(x\), где график лежит выше оси \(Ox\).

Пришлите, пожалуйста, крупный скриншот только графика из задания 2 — по нему не читаются подписи делений.