Задача 1. x² + 4x = 6y − y². Перенесите все члены в левую часть
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Рабочий лист: построение графиков уравнений
Фамилия, имя: [рукописно, неразборчиво] Дата: 7.11.2[неразборчиво]
Задача 1. \(x^2 + 4x = 6y - y^2\) Перенесите все члены в левую часть: \(x^2 + 4x + y^2 - 6y = 0\) (вписано от руки) Выделите полный квадрат: \(x^2 + 4x + 4 - 4 + \underline{\phantom{000}} = 0\) (на месте пропуска от руки: \(y^2 - 6y\)) \((x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 0\) \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = \underline{\phantom{00}} + \underline{\phantom{00}}\) (от руки вписано: 13 [неразборчиво]) Уравнение в каноническом виде: \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = \underline{\phantom{00}}\) (от руки: 13) Характеристики графика: • Центр: (от руки: \(-2\); \(3\)) • Радиус: (от руки: \(\sqrt{13}\)) [Рисунок: координатная плоскость, оси X и Y, деления от -5 до 5 по обеим осям, сетка; построенного графика нет]
Задача 2. \(x^2 + y^2 + 1 = 2x + 4y\) \(x^2 - 2x + \underline{\phantom{00}} - \underline{\phantom{00}} + y^2 - 4y + \underline{\phantom{00}} - \underline{\phantom{00}} + 1 = 0\) \((x - \underline{\phantom{00}})^2 - \underline{\phantom{00}} + (y - \underline{\phantom{00}})^2 - \underline{\phantom{00}} + 1 = 0\) \((x - \underline{\phantom{00}})^2 + (y - \underline{\phantom{00}})^2 = \underline{\phantom{00}}\) Характеристики графика: • Центр: (___; ___) • Радиус: ___ [Рисунок: координатная плоскость, оси X и Y, деления от -5 до 5 по обеим осям, сетка; построенного графика нет]
Краткий ответ
Задача 1. \((x+2)^2+(y-3)^2=13\); центр \((-2;\,3)\), радиус \(R=\sqrt{13}\approx3{,}6\).
Задача 2. \((x-1)^2+(y-2)^2=4\); центр \((1;\,2)\), радиус \(R=2\).
Задача 1 — по шагам
Переносим всё в левую часть: \[x^2+4x-6y+y^2=0 \;\Rightarrow\; x^2+4x+y^2-6y=0.\] Поэтому в строке \(x^2+4x+4-4+\underline{\phantom{000}}=0\) на пропуск идёт \(y^2-6y\).
Выделяем полный квадрат отдельно по \(x\) и по \(y\): \[x^2+4x=(x+2)^2-4,\qquad y^2-6y=(y-3)^2-9.\] Логика такая: \((x+2)^2=x^2+4x+4\), значит, чтобы равенство не изменилось, прибавили 4 и сразу вычли 4.
Подставляем в уравнение: \[(x+2)^2-4+(y-3)^2-9=0 \;\Rightarrow\; (x+2)^2+(y-3)^2=4+9=13.\]
Сравниваем с каноническим видом \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\): \[x_0=-2,\quad y_0=3,\quad R^2=13,\quad R=\sqrt{13}.\] Важно: \(x+2=x-(-2)\), то есть знак в скобке меняется на противоположный — центр именно \((-2;\,3)\), а радиус \(\sqrt{13}\), а не 13.
Задача 2 — по шагам
Все члены влево: \[x^2-2x+y^2-4y+1=0.\]
Полные квадраты: \[x^2-2x=(x-1)^2-1,\qquad y^2-4y=(y-2)^2-4.\]
Заполняем пропуски: \[x^2-2x+1-1+y^2-4y+4-4+1=0,\] \[(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+1=0.\]
Собираем числа справа: \[(x-1)^2+(y-2)^2=1+4-1=4.\] Значит, центр \((1;\,2)\), \(R^2=4\), \(R=2\).
Как построить графики
Окружность строят от центра: отмечают центр, затем четыре точки на расстоянии \(R\) — \((x_0\pm R;\,y_0)\) и \((x_0;\,y_0\pm R)\), — и проводят окружность через них.
- Задача 1: \((-2-\sqrt{13};3)\approx(-5{,}6;\,3)\), \((-2+\sqrt{13};3)\approx(1{,}6;\,3)\), \((-2;\,3-\sqrt{13})\approx(-2;\,-0{,}6)\), \((-2;\,3+\sqrt{13})\approx(-2;\,6{,}6)\). Верхняя точка выходит за сетку (там максимум \(y=5\)), поэтому сверху дуга на листе обрывается.
- Задача 2: \((3;\,2)\), \((-1;\,2)\), \((1;\,4)\), \((1;\,0)\) — окружность целиком помещается на сетке.
Проверка
Раскрываем скобки в ответе 1: \(x^2+4x+4+y^2-6y+9=13\), то есть \(x^2+4x+y^2-6y=0\) — совпало с исходным уравнением.
Раскрываем скобки в ответе 2: \(x^2-2x+1+y^2-4y+4=4\), то есть \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\) — тоже совпало.
В работе на фото первая задача уже заполнена верно; вторая пока пустая — её и решаем по шагам выше.
Обсуждение
4 сообщенияКак построить окружность для задачи 1 на сетке?
Что нужно построить
Центр \(O_1(-2;\,3)\), радиус \(R=\sqrt{13}\approx 3{,}6\). Значит, от центра во все стороны откладываем примерно \(3{,}6\) клетки — чуть больше \(3{,}5\).
Способ 1: циркулем (самый точный)
Радиус \(\sqrt{13}\) не откладывается по клеткам «в лоб», но он равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(2\) и \(3\):
\[\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.\]
Поэтому:
- Ставим иглу циркуля в центр \((-2;\,3)\).
- Карандаш ставим в точку \((0;\,0)\) — она ровно на \(2\) клетки правее и \(3\) клетки ниже центра. Расстояние между ними и есть \(\sqrt{13}\) (проверка: \((0+2)^2+(0-3)^2=4+9=13\)).
- Не меняя раствора, проводим окружность.
Кстати, точка \((0;0)\) лежит на окружности не случайно: подставим \(x=0\), \(y=0\) в уравнение — получаем верное равенство \(0=0\).
Способ 2: по точкам (если циркуля нет)
Отмечаем центр и точки окружности, затем соединяем плавно. Удобно, что здесь есть четыре целые точки — они дают контроль построения:
\[(-4;\,0),\quad (0;\,0),\quad (0;\,6),\quad (-4;\,6).\]
Почему они подходят: при \(x=0\) уравнение даёт \((y-3)^2=9\), то есть \(y=6\) или \(y=0\); при \(x=-4\) получается то же самое. Эти четыре точки — вершины квадрата \(4\times4\), а его центр как раз \((-2;\,3)\).
Дополнительно можно отметить концы диаметров (они не целые, но симметричны):
\[(-2-\sqrt{13};\,3)\approx(-5{,}6;\,3),\quad(-2+\sqrt{13};\,3)\approx(1{,}6;\,3),\]
\[(-2;\,3-\sqrt{13})\approx(-2;\,-0{,}6),\quad(-2;\,3+\sqrt{13})\approx(-2;\,6{,}6).\]
Про край листа
Верхняя точка окружности имеет \(y\approx 6{,}6\), поэтому при сетке до \(y=5\) дуга сверху обрывается. Два нормальных выхода:
- дорисовать \(2\) клетки вверх по оси \(y\) (масштаб менять не нужно);
- провести только видимую часть дуги и отметить, что остальное продолжается за границей рисунка.
Проверка построения
- Расстояние от центра до каждой отмеченной точки должно быть \(\approx 3{,}6\) клетки: до \((0;0)\) — это \(2\) вправо и \(3\) вниз, как раз \(\sqrt{13}\).
- Окружность симметрична относительно прямой \(y=3\) (горизонталь через центр) и относительно \(x=-2\).
- Крайние левая и правая точки: \(x=-2\pm\sqrt{13}\), то есть окружность занимает по \(x\) примерно от \(-5{,}6\) до \(1{,}6\).
нарисуй
Рисунок (схема символами)
Картинку-файл я приложить не могу, зато вот график: по нему легко перенести всё на клетчатую бумагу.
Обозначения: # — точки окружности, + — центр \((-2;\,3)\), │ и ─ — оси, · — узлы сетки. Масштаб рисунка: 1 столбец = \(0{,}25\), 1 строка = \(0{,}5\).
7 · · · · · · │ · ·
6.5 ####### │
6 · · # · · · # · ·
5.5 # │ #
5 · # · · · · │ # ·
4.5 # │ #
4 · # · · · · · │ · # ·
3.5 # │ #
3 · # · · · + · │ · # ·
2.5 # │ #
2 · # · · · · · │ · # ·
1.5 # │ #
1 · # · · · · │ # ·
0.5 # │ #
0 ────────#───────────────#────────
-0.5 ####### │
-1 · · · · · · │ · ·
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Что видно на рисунке
- Левый край окружности — почти вертикальная линия у \(x\approx-5{,}6\), правый — у \(x\approx1{,}6\).
- Окружность проходит через четыре узла сетки: \((-4;\,0)\), \((0;\,0)\), \((0;\,6)\), \((-4;\,6)\). Поэтому её удобно строить как окружность, описанную около квадрата с этими вершинами и центром \((-2;\,3)\).
- Сверху и снизу она выходит за последнюю целую линию сетки примерно на \(0{,}6\) единицы.
Как перенести на бумагу (1 клетка = 1 единица)
- Отметьте центр \((-2;\,3)\): 2 клетки влево от оси \(y\), 3 вверх от оси \(x\).
- Отметьте четыре узловые точки \((-4;\,0)\), \((0;\,0)\), \((0;\,6)\), \((-4;\,6)\) — это квадрат \(4\times4\).
- Радиус возьмите циркулем как расстояние от центра до любой из этих точек (это \(2\) клетки и \(3\) клетки по катетам, то есть \(\sqrt{13}\approx3{,}6\)), и проведите окружность через все четыре точки.
- Верхняя точка окажется на \(y\approx6{,}6\): либо дорисуйте сверху 2 клетки, либо оставьте дугу «уходящей» за край листа.
Проверка: центр на месте, все четыре узла лежат на окружности, и она симметрична относительно прямых \(x=-2\) и \(y=3\) — значит, построение верное.
