7.13. На клетчатой бумаге нарисуйте: а) остроугольный треугольник ABC; б) прямоугольный треугольник ABC; в) тупоугольный треугольник ABC, как показано на рисунке 7.10. Проведите
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
7.13. На клетчатой бумаге нарисуйте: а) остроугольный треугольник ABC; б) прямоугольный треугольник ABC; в) тупоугольный треугольник ABC, как показано на рисунке 7.10. Проведите соответственно из вершины C медиану, биссектрису и высоту. Рис. 7.10: а) [Рисунок: на клетчатой бумаге треугольник ABC; точки A и B лежат на нижней горизонтальной линии, C — выше между ними] б) [Рисунок: на клетчатой бумаге треугольник ABC; A — внизу слева, C — внизу справа, B — над C] в) [Рисунок: на клетчатой бумаге треугольник ABC; A — внизу слева, B — правее A на нижней линии, C — выше и правее B]
Краткий ответ (№ 7.13)
В каждом треугольнике из вершины \(C\) проводится только одна линия:
- а) \(CM\) — медиана, где \(M\) — середина стороны \(AB\);
- б) \(CD\) — биссектриса угла \(C\), то есть \(\angle ACD=\angle DCB\);
- в) \(CH\) — высота, \(CH\perp AB\); в тупоугольном треугольнике точка \(H\) лежит на продолжении \(AB\) за точкой \(B\).
Как выполнить построение
Пункт а) — медиана.
Найди середину \(M\) отрезка \(AB\): измерь \(AB\) и отложи половину длины от \(A\). Соедини \(C\) и \(M\).
Проверка: \(AM=MB\).Пункт б) — биссектриса.
В прямоугольном треугольнике на рисунке \(7.10\) угол \(C\) прямой. Его биссектриса делит этот угол на два угла по \(45^\circ\). Из \(C\) проведи луч внутрь угла так, чтобы он шёл под \(45^\circ\) к сторонам \(CA\) и \(CB\), до пересечения с \(AB\) в точке \(D\).
Не соединяй \(C\) с серединой \(AB\): это была бы медиана, а здесь нужна биссектриса.
Проверка: \(\angle ACD=\angle DCB=45^\circ\).Пункт в) — высота.
Продли сторону \(AB\) вправо за точку \(B\). Из \(C\) опусти перпендикуляр на эту прямую; основание перпендикуляра обозначь \(H\). Отрезок \(CH\) — высота.
На рисунке \(7.10\) в) точка \(H\) оказывается вне отрезка \(AB\) — для тупоугольного треугольника это нормально.
Проверка: \(CH\perp AB\), то есть угол при \(H\) равен \(90^\circ\).
Главное запомнить: медиана идёт к середине стороны, биссектриса делит угол пополам, а высота — это перпендикуляр к прямой, содержащей сторону.
Обсуждение
6 сообщенийЗелай рисунок
Ниже — рисунки к каждому пункту. Это схемы: в тетради строй их по линейке (и циркулю), соблюдая пометки.
а) Медиана \(CM\)
C
/ | \
/ | \
/ | \
A-----M-----B
- \(M\) — середина \(AB\), поэтому \(AM=MB\);
- \(CM\) соединяет вершину \(C\) с этой серединой — это и есть медиана;
- проверка: если перегнуть чертёж по \(CM\), точки \(A\) и \(B\) совместятся (при равных \(AC\) и \(BC\)), а главное — \(AM=MB\).
б) Биссектриса \(CD\) прямого угла \(C\)
A
| \
| \
| D
| / \
| / \
C-------B
- \(\angle ACB=90^\circ\), поэтому биссектриса идёт под \(45^\circ\) к каждой стороне: \(\angle ACD=\angle DCB=45^\circ\);
- \(D\) лежит на гипотенузе \(AB\);
- проверка транспортиром: оба угла при \(C\) должны быть по \(45^\circ\).
в) Высота \(CH\) в тупоугольном треугольнике
C
/ /|
/ / |
A-----B·H
- угол при \(B\) тупой, поэтому перпендикуляр из \(C\) падает не на отрезок \(AB\), а на его продолжение за точку \(B\);
- знак «·» — продолжение стороны \(AB\);
- \(CH\perp AB\), то есть \(\angle AHC=90^\circ\); проверка — угольником или транспортиром.
Общее правило для всех трёх рисунков: медиана всегда оканчивается на середине стороны, биссектриса делит угол пополам, а высота — это перпендикуляр к прямой, на которой лежит сторона.
Зделай чертёж
Я не могу выдать картинку-файл, но дам точный чертёж по клеткам: перенеси точки на бумагу в клетку — получится аккуратный рисунок, как в тетради.
а) Медиана \(CM\)
Берём клетки: \(A(0;0)\), \(B(8;0)\), \(C(3;5)\). Тогда \(M(4;0)\) — середина \(AB\).
5 | C
4 | /|\
3 | / | \
2 | / | \
1 | / | \
0 A----M----B
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Соедини \(C\) и \(M\). Проверка: \(AM=MB=4\) клетки.
б) Биссектриса \(CD\) прямого угла \(C\)
Клетки: \(C(0;0)\), \(A(0;6)\), \(B(8;0)\). Угол \(C=90^\circ\).
Точка \(D\) лежит на \(AB\) и на луче \(y=x\) (под \(45^\circ\) к сторонам), поэтому \[ D\left(\frac{24}{7};\frac{24}{7}\right)\approx(3{,}4;\,3{,}4). \]
6 A
|\
5 | \
4 | \
3 | D
2 | / \
1 | / \
0 C-------B
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Соедини \(C\) и \(D\). Проверка транспортиром: \(\angle ACD=\angle DCB=45^\circ\).
в) Высота \(CH\) в тупоугольном треугольнике
Клетки: \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(9;4)\). Угол \(B\) тупой, поэтому основание высоты \(H(9;0)\) лежит на продолжении \(AB\) за \(B\).
4 | C
3 | /|
2 | / |
1 | / |
0 A----B---H
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Проведи \(AB\), продли её вправо, опусти из \(C\) перпендикуляр на продолжение — получишь \(H\). Проверка: \(\angle AHC=90^\circ\).
Как построить без клеток (циркулем и линейкой):
- медиана — измерь \(AB\), отложи половину от \(A\), поставь \(M\);
- биссектриса — из \(C\) проведи дугу, пересекающую стороны угла, из этих точек равными радиусами сделай засечки и соедини \(C\) с точкой пересечения;
- высота — продли \(AB\) и опусти перпендикуляр из \(C\) угольником.
Если нужно, могу подписать на схеме все равные отрезки и углы для проверки.
Да
Ниже те же три чертежа, но уже с разметкой: одинаковые засечки ❙ — равные отрезки, одинаковые дуги ◠ — равные углы, □ — прямой угол.
а) Медиана \(CM\)
C
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
A——❙——M——❙——B
Разметка на чертеже:
- ❙ на \(AM\) и ❙ на \(MB\) — одинаковые засечки, значит \(AM=MB\);
- \(CM\) — единственная линия из \(C\), поэтому именно она медиана.
Проверка: измерь \(AM\) и \(MB\) линейкой — должны совпасть.
б) Биссектриса \(CD\) прямого угла \(C\)
A
|\
| \
| \
| \
| \
| D
| / \
| ◠ / ◠ \
| / \
C□———————B
Разметка на чертеже:
- две одинаковые дуги ◠ при \(C\): \(\angle ACD=\angle DCB\);
- квадратик □ при \(C\): \(\angle ACB=90^\circ\), значит каждая половина по \(45^\circ\);
- точка \(D\) лежит на \(AB\).
Проверка: транспортиром \(\angle ACD=45^\circ\) и \(\angle DCB=45^\circ\). Дополнительно: \(AC:CB=AD:DB\).
в) Высота \(CH\) в тупоугольном треугольнике
C
/|
/ |
/ |
A———B———H
□
Разметка на чертеже:
- квадратик □ при \(H\): \(CH\perp AB\), то есть \(\angle BHC=90^\circ\);
- штриховая линия \(BH\) — продолжение стороны \(AB\) за точку \(B\);
- угол при \(B\) тупой, поэтому \(H\) вне отрезка \(AB\).
Проверка: угольник прикладывай стороной к продолжению \(AB\) — второй катет должен пройти точно через \(C\).
Общий вывод по разметке: равные отрезки отмечаем одинаковым числом засечек, равные углы — одинаковым числом дуг; так на одном чертеже видно, что медиана даёт \(AM=MB\), биссектриса — равные углы при \(C\), а высота — прямой угол при основании.
