Демо-вариант (для подготовки, с подсказками) Прорешайте этот вариант дома. Подсказки в серых ремарках напомнят правила — в контрольной работе их не будет.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Демо-вариант (для подготовки, с подсказками) Прорешайте этот вариант дома. Подсказки в серых ремарках напомнят правила — в контрольной работе их не будет.
Часть 1 (по 1 баллу)
График функции \(y=(x-1)^2+3\) получен из графика \(y=x^2\) сдвигом: а) на 1 вправо и 3 вверх; б) на 1 влево и 3 вверх; в) на 1 вправо и 3 вниз; г) на 1 влево и 3 вниз. Подсказка: знак минус внутри скобок \((x-a)\) — сдвиг вправо, плюс \((x+a)\) — влево; \(+b\) — вверх, \(-b\) — вниз.
Найдите область определения функции \(y=2/(x-5)\). Подсказка: знаменатель не равен нулю.
Найдите область определения функции \(y=\sqrt{x-2}\). Подсказка: подкоренное выражение неотрицательно.
Каким сдвигом из графика \(y=x^2\) получается график \(y=(x-3)^2+2\)? Подсказка: работайте так же, как с параболой.
Найдите нули функции \(y=x^2-6x\). Подсказка: вынесите \(x\) за скобку.
График какой из функций — гипербола: \(y=-x^2; y=-3/x; y=|x|; y=\sqrt{x}\)? Подсказка: гипербола — это график функции вида \(y=k/x\).
Часть 2 (по 2 балла)
Постройте график функции \(y=(x-3)^2-2\). Укажите вершину, нули функции, промежутки возрастания и убывания, наименьшее значение. Подсказка: постройте таблицу значений, начиная с вершины.
Постройте график функции \(y=(x+1)^3+4\). Укажите центральную точку и промежутки монотонности. Подсказка: кубическая функция возрастает на всей числовой прямой, если нет знака минус перед скобкой.
Постройте график функции \(y=2/(x-1)+3\). Укажите асимптоты и область значений. Подсказка: асимптоты проходят через новую «начальную точку»: \(x=1\) и \(y=3\).
Постройте график функции \(y=\sqrt{x+1}-2\). Укажите область определения и область значений. Подсказка: начальная точка графика — \((-1;-2)\).
Постройте график функции \(y=4(x-1)-3\). Приведите её к виду \(y=kx+b\), укажите угловой коэффициент и свободный член, найдите точку пересечения с осью \(Oy\), определите, возрастает или убывает функция. Подсказка: раскройте скобки.
Задания со звёздочкой
График функции \(y=a\sqrt{x-b}\) проходит через точки \((5;2)\) и \((8;4)\). Найдите \(a\) и \(b\), запишите формулу функции и постройте схематично график. Подсказка: разделите одно уравнение на другое — \(a\) сократится.
При каких значениях \(m\) уравнение \(\sqrt{x-4}+2=m\) имеет хотя бы один корень? Подсказка: посмотрите, какие значения может принимать левая часть.
На фото — весь демо-вариант; ниже решения всех 13 заданий.
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | а) вправо на 1 и вверх на 3 |
| 2 | \(x\ne5\), \(D(y)=(-\infty;5)\cup(5;+\infty)\) |
| 3 | \(D(y)=[2;+\infty)\) |
| 4 | вправо на 3 и вверх на 2 |
| 5 | \(x=0,\ x=6\) |
| 6 | \(y=-3/x\) |
| 7 | вершина \((3;-2)\), нули \(x=3\pm\sqrt2\), убывает на \((-\infty;3]\), возрастает на \([3;+\infty)\), минимум \(-2\) |
| 8 | центр \((-1;4)\), возрастает на всей числовой прямой |
| 9 | асимптоты \(x=1\), \(y=3\); \(E(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)\) |
| 10 | \(D(y)=[-1;+\infty)\), \(E(y)=[-2;+\infty)\) |
| 11 | \(y=4x-7\), \(k=4\), \(b=-7\), точка \((0;-7)\), возрастает |
| 12 | \(a=2,\ b=4\), \(y=2\sqrt{x-4}\) |
| 13 | \(m\ge2\) |
Как это получается
В формуле \(y=(x-1)^2+3\): \(x-1\) означает сдвиг вправо на 1, \(+3\) — вверх на 3. Ответ: а.
Знаменатель не равен нулю: \[ x-5\ne0 \Rightarrow x\ne5. \] Область определения: \((-\infty;5)\cup(5;+\infty)\).
Подкоренное выражение неотрицательно: \[ x-2\ge0 \Rightarrow x\ge2. \] Область определения: \([2;+\infty)\).
\(y=(x-3)^2+2\) получается из \(y=x^2\) сдвигом вправо на 3 и вверх на 2.
Нули функции — это решения \(y=0\): \[ x^2-6x=0,\qquad x(x-6)=0, \] поэтому \(x=0\) или \(x=6\).
Гипербола имеет вид \(y=k/x\). Среди вариантов это только \[ y=-\frac3x. \]
Для \(y=(x-3)^2-2\) вершина параболы: \((3;-2)\). Ветви направлены вверх, значит:
- убывает на \((-\infty;3]\);
- возрастает на \([3;+\infty)\);
- наименьшее значение \(-2\).
Нули: \[ (x-3)^2-2=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt2. \] Для построения можно взять точки \((2;-1)\), \((4;-1)\), \((1;2)\), \((5;2)\), \((0;7)\).
\(y=(x+1)^3+4\) — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая влево на 1 и вверх на 4. Центр симметрии: \((-1;4)\). Кубическая функция возрастает на всей числовой прямой. Для эскиза: \((-3;-4)\), \((-2;3)\), \((-1;4)\), \((0;5)\), \((1;12)\).
\(y=\dfrac{2}{x-1}+3\) — гипербола \(y=\dfrac2x\), сдвинутая вправо на 1 и вверх на 3. Поэтому:
- вертикальная асимптота \(x=1\);
- горизонтальная асимптота \(y=3\);
- область значений \(y\ne3\), то есть \((-\infty;3)\cup(3;+\infty)\).
Для эскиза: \((-1;2)\), \((0;1)\), \((2;5)\), \((3;4)\).
\(y=\sqrt{x+1}-2\) — ветвь корня, сдвинутая влево на 1 и вниз на 2. Начальная точка: \((-1;-2)\). Поэтому: \[ D(y)=[-1;+\infty),\qquad E(y)=[-2;+\infty). \] Точки для графика: \((-1;-2)\), \((0;-1)\), \((3;0)\), \((8;1)\).
Раскрываем скобки: \[ y=4(x-1)-3=4x-4-3=4x-7. \] Значит, \(k=4\), \(b=-7\). При \(x=0\): \[ y=-7, \] поэтому точка пересечения с осью \(Oy\) — \((0;-7)\). Так как \(k=4>0\), функция возрастает. График — прямая через \((0;-7)\) и \((1;-3)\).
Подставляем точки в \(y=a\sqrt{x-b}\): \[ 2=a\sqrt{5-b},\qquad 4=a\sqrt{8-b}. \] Разделим второе уравнение на первое: \[ 2=\sqrt{\frac{8-b}{5-b}}. \] Возводим в квадрат: \[ 4=\frac{8-b}{5-b}, \] \[ 4(5-b)=8-b, \] \[ 20-4b=8-b, \] \[ 12=3b \Rightarrow b=4. \] Тогда \[ 2=a\sqrt{5-4}=a \Rightarrow a=2. \] Формула: \[ y=2\sqrt{x-4}. \] График начинается в точке \((4;0)\), проходит через \((5;2)\) и \((8;4)\), затем уходит вправо-вверх.
Левая часть: \[ \sqrt{x-4}+2. \] Так как \(\sqrt{x-4}\ge0\), то \[ \sqrt{x-4}+2\ge2. \] Поэтому уравнение имеет хотя бы один корень при \[ m\ge2. \] Если \(m\ge2\), корень можно найти явно: \[ x=4+(m-2)^2. \]
Проверка:
Для №12: \(2\sqrt{5-4}=2\), \(2\sqrt{8-4}=4\).
Для №13: при \(m\ge2\) подстановка \(x=4+(m-2)^2\) даёт \(\sqrt{(m-2)^2}+2=m\).
