Дано: F1=8T, F2=7T, F3=10T, q=0,4T/м, a=0,6 м, b=1,3 м, c=0,6 м, A=20 см²

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: горизонтальный ступенчатый стержень, левый конец защемлён в вертикальной стене со штриховкой слева; длины участков снизу $a=0{,}6$ м, $b=1{,}3$ м, $c=0{,}6$ м; над левым участком $5A$, над правым $2{,}5A$. У первой ступени сила $F_3$ направлена влево; на втором участке распределённая нагрузка $q$ показана стрелками влево; силы $F_1$ и $F_2$ в правой части направлены вправо.]
Дано:
$F_1=8$ т
$F_2=7$ т
$F_3=10$ т
$q=0{,}4$ т/м
$a=0{,}6$ м
$b=1{,}3$ м
$c=0{,}6$ м
$A=20$ см$^2$
$E=2\cdot10^5$ МПа
Нужно: 1) Построить эпюру продольных усилий $N$. 2) Построить эпюру нормальных напряжений $\sigma$. 3) Построить эпюру перемещений точек, лежащих на стержне, — $\Delta l$.

Answer

Считаю растяжение положительным. По схеме: $A_1=5A=100$ см², $A_2=A=20$ см², $A_3=2{,}5A=50$ см²; $F_3$ и $q$ направлены влево, $F_1$ и $F_2$ — вправо.

Кратко:
$$
N_1=4{,}48\ \text{т},\quad N_2=14{,}48\to15\ \text{т},\quad N_3=7\ \text{т}.
$$
$$
\sigma_1=4{,}39\ \text{МПа},\quad
\sigma_2=71{,}0\to73{,}6\ \text{МПа},\quad
\sigma_3=13{,}7\ \text{МПа}.
$$
Полное удлинение:
$$
\Delta l=u(2{,}5)\approx0{,}524\ \text{мм}.
$$

1. Эпюра продольных сил $N$

Распределённая нагрузка на среднем участке:
$$
Q=qb=0{,}4\cdot1{,}3=0{,}52\ \text{т}.
$$

Идём от свободного конца:
$$
N_3=F_2=7\ \text{т}.
$$

На среднем участке:
$$
N_2(x)=F_1+F_2-q(1{,}9-x)
=15-0{,}4(1{,}9-x)
=14{,}24+0{,}4x\ \text{т},
$$
где $x$ — расстояние от заделки, м; $0{,}6<x<1{,}9$.

На левом участке:
$$
N_1=F_1+F_2-Q-F_3
=15-0{,}52-10=4{,}48\ \text{т}.
$$

Значит:
$$
N(x)=
\begin{cases}
4{,}48\ \text{т}, & 0<x<0{,}6,\
14{,}24+0{,}4x\ \text{т}, & 0{,}6<x<1{,}9,\
7\ \text{т}, & 1{,}9<x<2{,}5.
\end{cases}
$$

На границах:

при $x=0{,}6$ м скачок $+10$ т;

при $x=1{,}9$ м скачок $-8$ т.

Всюду $N>0$, то есть стержень растянут.

2. Эпюра нормальных напряжений $\sigma=N/A$

$$
\sigma_1=\frac{4{,}48}{100}=0{,}0448\ \frac{\text{т}}{\text{см}^2}
=4{,}39\ \text{МПа},
$$
$$
\sigma_2(x)=\frac{14{,}48+0{,}4(x-0{,}6)}{20}
\ \frac{\text{т}}{\text{см}^2},
$$
поэтому на среднем участке:
$$
\sigma_2=0{,}724\to0{,}750\ \frac{\text{т}}{\text{см}^2}
=71{,}0\to73{,}6\ \text{МПа},
$$
$$
\sigma_3=\frac{7}{50}=0{,}140\ \frac{\text{т}}{\text{см}^2}
=13{,}7\ \text{МПа}.
$$

3. Эпюра перемещений

При $E=2\cdot10^5$ МПа:
$$
u(0)=0,\qquad u'=\frac{N}{EA}.
$$

Ординаты эпюры:
$$
u(0{,}6)=0{,}0132\ \text{мм},
$$
$$
u(1{,}9)=0{,}483\ \text{мм},
$$
$$
u(2{,}5)=0{,}524\ \text{мм}.
$$

На I и III участках эпюра линейна, на II — парабола. В метрах:
$$
u(x)=
\begin{cases}
0{,}02197x, & 0\le x\le0{,}6,\[2mm]
0{,}01318+0{,}355(x-0{,}6)+0{,}00490(x-0{,}6)^2, & 0{,}6\le x\le1{,}9,\[2mm]
0{,}48296+0{,}06865(x-1{,}9), & 1{,}9\le x\le2{,}5,
\end{cases}
$$
где $u$ — в мм, $x$ — в м.

Проверка. Суммарная внешняя нагрузка вправо:
$$
F_1+F_2-F_3-qb=8+7-10-0{,}52=4{,}48\ \text{т}.
$$
Стена даёт реакцию $4{,}48$ т влево, поэтому $N$ в заделке равна $4{,}48$ т — сходится.

Если в записи $E$ другое, усилия $N$ и напряжения $\sigma$ не изменятся, а перемещения нужно умножить на $2\cdot10^5/E$.

Дано: F1=8T, F2=7T, F3=10T, q=0,4T/м, a=0,6 м, b=1,3 м, c=0,6 м, A=20 см²

1. Эпюра продольных сил \(N\)

2. Эпюра нормальных напряжений \(\sigma=N/A\)

3. Эпюра перемещений