Домашнее задание № 31 Решите уравнения 1) 49ˣ⁺¹ = (1/7)ˣ. 2) 4⁵ˣ⁺¹ = (1/2)⁶⁻⁴ˣ
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Домашнее задание № 31 Решите уравнения
- \(49^{x+1} = \left(\frac{1}{7}\right)^x\).
- \(4^{5x+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6-4x}\).
- \(\left(\frac{1}{6}\right)^{x+1} = 36^{x-1}\).
- \(128 \cdot 16^{2x+1} = 8^{3-2x}\).
- \(3^{x+2} + 3^x = 810\).
- \(5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31\).
Решите неравенства
- \(\left(\frac{1}{25}\right)^{2-x} < 125^{x+1}\).
- \(100^{2x+1} < 0,1\).
- \(\left(\frac{1}{27}\right)^{2-x} > 9^{2x-1}\).
- \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2+3x} < 8^{x-1}\).
- \(9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36\).
- \(10^x - 8 \cdot 5^x \geq 0\).
Краткие ответы
Уравнения:
- \(x=-\frac{2}{3}\)
- \(x=-\frac{4}{3}\)
- \(x=\frac{1}{3}\)
- \(x=-\frac{1}{7}\)
- \(x=4\)
- \(x=1\)
Неравенства:
- \(x>-7\)
- \(x<-\frac{3}{4}\)
- \(x<-4\)
- \(x>-\frac{1}{9}\)
- \(x<2\)
- \(x\ge 3\)
Как это получается
Главный приём: привести обе части к степени с одним основанием.
Для уравнения \(a^u=a^v\) при \(a>0,\ a\ne1\) получаем \(u=v\).
Для неравенства при \(a>1\) знак неравенства сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется на противоположный.
Уравнения
\(49^{x+1}=7^{2x+2}\), \(\left(\frac17\right)^x=7^{-x}\).
\(2x+2=-x \Rightarrow x=-\frac23\).\(4^{5x+1}=2^{10x+2}\), \(\left(\frac12\right)^{6-4x}=2^{4x-6}\).
\(10x+2=4x-6 \Rightarrow x=-\frac43\).\(\left(\frac16\right)^{x+1}=6^{-x-1}\), \(36^{x-1}=6^{2x-2}\).
\(-x-1=2x-2 \Rightarrow x=\frac13\).\(128\cdot16^{2x+1}=2^7\cdot2^{8x+4}=2^{8x+11}\),
\(8^{3-2x}=2^{9-6x}\).
\(8x+11=9-6x \Rightarrow x=-\frac17\).\(3^{x+2}+3^x=3^x(9+1)=10\cdot3^x\).
\(10\cdot3^x=810 \Rightarrow 3^x=81 \Rightarrow x=4\).\(5^{x+1}+5^x+5^{x-1}=5^{x-1}(25+5+1)=31\cdot5^{x-1}\).
\(31\cdot5^{x-1}=31 \Rightarrow 5^{x-1}=1 \Rightarrow x=1\).
Неравенства
\(\left(\frac1{25}\right)^{2-x}=5^{-4+2x}\), \(125^{x+1}=5^{3x+3}\).
\(-4+2x<3x+3 \Rightarrow x>-7\).\(100^{2x+1}=10^{4x+2}\), \(0{,}1=10^{-1}\).
\(4x+2<-1 \Rightarrow x<-\frac34\).\(\left(\frac1{27}\right)^{2-x}=3^{3x-6}\), \(9^{2x-1}=3^{4x-2}\).
\(3x-6>4x-2 \Rightarrow x<-4\).\(\left(\frac14\right)^{2+3x}=2^{-4-6x}\), \(8^{x-1}=2^{3x-3}\).
\(-4-6x<3x-3 \Rightarrow x>-\frac19\).\(9\cdot3^{x-1}+3^x=3^{x+1}+3^x=4\cdot3^x\).
\(4\cdot3^x<36 \Rightarrow 3^x<9 \Rightarrow x<2\).\(10^x-8\cdot5^x=5^x(2^x-8)\).
Так как \(5^x>0\), нужно \(2^x-8\ge0 \Rightarrow 2^x\ge8 \Rightarrow x\ge3\).
Проверка
- В уравнении 5 при \(x=4\): \(3^6+3^4=729+81=810\).
- В неравенстве 6 при \(x=3\): \(10^3-8\cdot5^3=1000-1000=0\), граница входит; при \(x=4\) выражение положительно.
Обсуждение
8 сообщений2 реши подробнее из 1 столбца?
Уравнение №2 из первого столбца:
\[ 4^{5x+1}=\left(\frac12\right)^{6-4x} \]
1. Приведём обе части к основанию \(2\).
Так как \(4=2^2\), то:
\[ 4^{5x+1}=(2^2)^{5x+1}=2^{2(5x+1)}=2^{10x+2} \]
Так как \(\frac12=2^{-1}\), то:
\[ \left(\frac12\right)^{6-4x}=(2^{-1})^{6-4x}=2^{-(6-4x)}=2^{-6+4x} \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 2^{10x+2}=2^{4x-6} \]
2. Приравняем показатели степеней.
Основания одинаковые и не равны \(1\), поэтому:
\[ 10x+2=4x-6 \]
3. Решим уравнение.
\[ 10x-4x=-6-2 \]
\[ 6x=-8 \]
\[ x=-\frac{8}{6}=-\frac43 \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-\frac43} \]
Проверка. Подставим \(x=-\frac43\):
\[ 5x+1=5\cdot\left(-\frac43\right)+1=-\frac{20}{3}+1=-\frac{17}{3} \]
\[ 6-4x=6-4\cdot\left(-\frac43\right)=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3} \]
Тогда:
\[ 4^{-17/3}=2^{-34/3} \]
и
\[ \left(\frac12\right)^{34/3}=2^{-34/3} \]
Обе части равны, значит корень найден верно.
3 реши подробнее из 1 столбца?
Уравнение №3 из первого столбца:
\[ \left(\frac16\right)^{x+1}=36^{x-1} \]
1. Приведём обе части к основанию \(6\).
Так как
\[ \frac16=6^{-1}, \]
то левая часть:
\[ \left(\frac16\right)^{x+1}=\left(6^{-1}\right)^{x+1}=6^{-(x+1)}=6^{-x-1}. \]
Так как
\[ 36=6^2, \]
то правая часть:
\[ 36^{x-1}=\left(6^2\right)^{x-1}=6^{2(x-1)}=6^{2x-2}. \]
Получаем:
\[ 6^{-x-1}=6^{2x-2}. \]
2. Приравняем показатели степеней.
\[ -x-1=2x-2. \]
3. Решим уравнение.
\[ -x-2x=-2+1 \]
\[ -3x=-1 \]
\[ x=\frac{1}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac13} \]
Проверка. Подставим \(x=\frac13\):
\[ x+1=\frac13+1=\frac43, \]
\[ x-1=\frac13-1=-\frac23. \]
Тогда:
\[ \left(\frac16\right)^{4/3}=6^{-4/3}, \]
а
\[ 36^{-2/3}=\left(6^2\right)^{-2/3}=6^{-4/3}. \]
Обе части равны, значит решение верное.
1 реши подробнее из 2 столбца?
Неравенство №1 из второго столбца:
\[ \left(\frac1{25}\right)^{2-x}<125^{x+1} \]
1. Приведём обе части к основанию \(5\).
Так как
\[ \frac1{25}=5^{-2}, \]
то левая часть равна:
\[ \left(\frac1{25}\right)^{2-x} =\left(5^{-2}\right)^{2-x} =5^{-2(2-x)} =5^{-4+2x}. \]
Так как
\[ 125=5^3, \]
то правая часть равна:
\[ 125^{x+1} =\left(5^3\right)^{x+1} =5^{3(x+1)} =5^{3x+3}. \]
Получаем:
\[ 5^{-4+2x}<5^{3x+3}. \]
2. Перейдём к показателям степеней.
Основание \(5>1\), поэтому знак неравенства сохраняется:
\[ -4+2x<3x+3. \]
3. Решим неравенство.
Перенесём \(2x\) вправо, а \(3\) влево:
\[ -4-3<3x-2x, \]
\[ -7<x. \]
То есть:
\[ x>-7. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-7;+\infty)} \]
Проверка.
Возьмём \(x=-6>-7\):
\[ \left(\frac1{25}\right)^{8}<125^{-5}. \]
Поскольку \(5^{-16}<5^{-15}\), это верно.
Возьмём \(x=-8<-7\):
\[ \left(\frac1{25}\right)^{10}<125^{-7} \]
даёт \(5^{-20}<5^{-21}\), что неверно. Значит, решение \(x>-7\) найдено правильно.
2 реши подробнее из 2 столбца?
Неравенство №2 из второго столбца:
\[ 100^{2x+1}<0{,}1 \]
1. Приведём обе части к основанию \(10\).
Так как
\[ 100=10^2, \]
то
\[ 100^{2x+1}=(10^2)^{2x+1}=10^{2(2x+1)}=10^{4x+2}. \]
А \(0{,}1\) можно записать как
\[ 0{,}1=\frac{1}{10}=10^{-1}. \]
Получаем:
\[ 10^{4x+2}<10^{-1}. \]
2. Перейдём к показателям степеней.
Основание \(10>1\), поэтому знак неравенства сохраняется:
\[ 4x+2<-1. \]
3. Решим неравенство.
\[ 4x<-1-2, \]
\[ 4x<-3, \]
\[ x<-\frac34. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac34\right)} \]
Скобка у числа \(-\frac34\) круглая, потому что неравенство строгое: \(<\), а не \(\le\).
Проверка.
Возьмём \(x=-1\), тогда \(x<-\frac34\):
\[ 100^{2(-1)+1}=100^{-1}=0{,}01<0{,}1 \]
— верно.
Возьмём \(x=0\), тогда \(x\) уже не меньше \(-\frac34\):
\[ 100^{2\cdot0+1}=100^1=100<0{,}1 \]
— неверно. Значит, решение найдено правильно.
