478. Сократить дробь: 1) (√a−√b)/(a^(1/4)−b^(1/4)); 2) (m^(1/2)+n^(1/2))/(m+2√mn+n)

На фото — № 478. Кратко:

1. \(a^{1/4}+b^{1/4}\)
2. \(\frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}\)
3. \(\sqrt c-1\)
4. В 4-м примере на фото знаменатель читается как \(x-y\), тогда: \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}}. \]

Если в твоём издании в 4-м примере знаменатель \(x^{2/3}-y^{2/3}\), то ответ: \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}. \]

Почему так

1. Пусть \(u=a^{1/4}\), \(v=b^{1/4}\). Тогда \(\sqrt a=u^2\), \(\sqrt b=v^2\), поэтому: \[ \frac{u^2-v^2}{u-v} =\frac{(u-v)(u+v)}{u-v} =u+v =a^{1/4}+b^{1/4}. \]

2. Знаменатель — квадрат суммы: \[ m+2\sqrt{mn}+n=(\sqrt m+\sqrt n)^2. \] Поэтому: \[ \frac{\sqrt m+\sqrt n}{(\sqrt m+\sqrt n)^2} =\frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}. \]

3. Пусть \(t=\sqrt c\). Тогда \(c=t^2\), и числитель: \[ c-2\sqrt c+1=t^2-2t+1=(t-1)^2. \] Значит: \[ \frac{(t-1)^2}{t-1}=t-1=\sqrt c-1. \]

4. Пусть \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Тогда: \[ x^{2/3}=u^2,\qquad x^{1/3}y^{1/3}=uv,\qquad y^{2/3}=v^2, \] поэтому числитель: \[ u^2-2uv+v^2=(u-v)^2. \] Если знаменатель \(x-y\), то: \[ x-y=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). \] После сокращения: \[ \frac{(u-v)^2}{(u-v)(u^2+uv+v^2)} =\frac{u-v}{u^2+uv+v^2}. \] Возвращаясь к \(x,y\), получаем: \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}}. \]

Общий принцип: заменяй корни новыми переменными и применяй формулы сокращённого умножения — разность квадратов, квадрат суммы/разности и разность кубов. Знаменатели при сокращении не должны быть нулевыми.