478. Сократить дробь:

Полностью видны только пункты 1 и 2; пункт 3 обрезан справа, поэтому его условие нужно прислать целиком.

Краткий ответ

1. \[ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{a^{1/4}-b^{1/4}} = a^{1/4}+b^{1/4} \] при \(a\ge 0,\ b\ge 0,\ a\ne b\).

2. \[ \frac{m^{1/2}+n^{1/2}}{m+2\sqrt{mn}+n} = \frac{1}{\sqrt m+\sqrt n} \] при \(m\ge 0,\ n\ge 0,\ m+n>0\).

Как решать

1. Обозначим \(x=\sqrt[4]{a}\), \(y=\sqrt[4]{b}\). Тогда \[ \sqrt a=x^2,\qquad \sqrt b=y^2. \] Поэтому \[ \frac{x^2-y^2}{x-y} =\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} =x+y =a^{1/4}+b^{1/4}. \] Здесь важно, что \(x\ne y\), то есть \(a\ne b\).

2. Обозначим \(x=\sqrt m\), \(y=\sqrt n\). Тогда \[ m+2\sqrt{mn}+n =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2. \] Получаем \[ \frac{x+y}{(x+y)^2} =\frac{1}{x+y} =\frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}. \]

Проверка

1. \[ (a^{1/4}+b^{1/4})(a^{1/4}-b^{1/4}) =a^{1/2}-b^{1/2} =\sqrt a-\sqrt b. \]

2. \[ \frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}\cdot(m+2\sqrt{mn}+n) =\frac{(\sqrt m+\sqrt n)^2}{\sqrt m+\sqrt n} =\sqrt m+\sqrt n. \]

Общий приём: заменить корни новыми переменными \(x\) и \(y\), после чего становятся видны формулы разности квадратов или квадрата суммы.