1) ∫(x² − 2x + 1) dx

Кыскача жообу (1-мисал):

\[ \int (x^2-2x+1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x+C \]

Почему так — по шагам

1. Интеграл суммы и разности разбивается на сумму интегралов, а постоянный множитель можно выносить: \[ \int (x^2-2x+1)\,dx=\int x^2\,dx-\int 2x\,dx+\int 1\,dx. \]

2. Главное табличное правило (степенная функция): \[ \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1). \]

3. Применяем к каждому слагаемому: \[ \int x^2\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 2x\,dx=x^{2},\qquad \int 1\,dx=x. \]

4. Складываем и добавляем одну общую постоянную \(C\) (неопределённый интеграл без неё записывать нельзя): \[ \int (x^2-2x+1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x+C. \]

Проверка (дифференцированием): \[ \left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x+C\right)'=x^{2}-2x+1 \] — получили подынтегральную функцию, значит ответ верный.

Второй способ (короче). Заметим, что \(x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\), тогда \[ \int (x-1)^{2}\,dx=\frac{(x-1)^{3}}{3}+C. \] Это та же самая совокупность первообразных: \(\frac{(x-1)^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x-\frac{1}{3}\), отличие только в постоянной.

Небольшое замечание: в записи на фото показатель у первого \(x\) читается как \(2\). Если teacher имел в виду \(x^{3}\), то по тому же правилу \(\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}\) и ответ будет \(\frac{x^{4}}{4}-x^{2}+x+C\).

Остальные номера (2–4) не трогал — скажи, и разберу их так же.